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mines pc maths2 1 A ?? MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH ISAE-SUPAERO ENSTA PARISTECH TELECOM PARISTECH MINES PARISTECH MINES SAINT-ÉTIENNE MINES NANCY IMT Atlantique ENSAE PARISTECH CHIMIE PARISTECH Concours Centrale-Supélec Cycle International Concou

A ?? MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH ISAE-SUPAERO ENSTA PARISTECH TELECOM PARISTECH MINES PARISTECH MINES SAINT-ÉTIENNE MINES NANCY IMT Atlantique ENSAE PARISTECH CHIMIE PARISTECH Concours Centrale-Supélec Cycle International Concours Mines-Télécom Concours Commun TPE EIVP CONCOURS DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l ? épreuve heures L ? usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie MATHÉMATIQUES II - PC L ? énoncé de cette épreuve comporte pages de texte Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre CEtude d ? une série de fonctions Le sujet est consacré à l ? étude de quelques propriétés de dérivabilité de la fonction R R ? C dé ?nie par R x ? ? sin n x pour tout x ? R n n Notations ?? On note ? xÊ la partie entière d ? un réel x ?? Soit un n ?Z une famille de Z des entiers relatifs Dans nombres complexes le cas o? les séries iqndexée par n? un et lq ? ensemble n? u ??n sont toutes deux convergentes on pose ? ? ? ? ? un un u ??n n ?Z n n I Préliminaires On établit dans cette partie quelques résultats utiles dans la suite du problème Montrer que la fonction R est bien dé ?nie et qu ? elle est continue sur R ? ? sin x Montrer que l ? intégrale x dx est convergente Dans la suite du problème on admet que ? ? sin x Ú ? x dx Soit f R ? C une fonction continue par morceaux et intégrable On pose ? ? f ?? x ??ixt f t e dt pour tout x ? R ?? ?Montrer que la fonction f ?? est bien dé ?nie et continue sur R CII Etude de la dérivabilité de R en Dans cette partie on considère une fonction f R ? C continue et telle qu ? il existe un réel C tel que f t ? C pour tout t ? R t On pose ? ? S h h f nh pour tout h n Justi ?er l ? existence de S h pour tout h On ?xe h et on considère la fonction ? h R ??? C t ?? ? ? f t h h Montrer que ? ? S h ? h t dt Montrer que pour tous h ? et t ? ? on a ? h t ? C t ?? En déduire que ? ? S h ? f t dt quand h ? En déduire un équivalent de R x quand x tend vers par valeurs strictement positives La fonction R est-elle dérivable en III Formule sommatoire de