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Louloup En mathématiques une application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier appelé ensemble de départ ou source est relié à un unique élément du second l ? ensemble d'arrivée ou but Le terme est concurrencé par c

En mathématiques une application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier appelé ensemble de départ ou source est relié à un unique élément du second l ? ensemble d'arrivée ou but Le terme est concurrencé par celui de fonction bien que celui-ci désigne parfois plus spéci ?quement les applications dont le but est un ensemble de nombres et parfois au contraire englobe plus largement les relations pour lesquelles chaque élément de l'ensemble de départ est relié à au plus un élément de l'ensemble d'arrivée Une application peut avoir des valeurs non numériques comme celle qui associe à chaque élève d ? une classe sa ville de naissance ou l ? application qui à chaque carte d ? un jeu de cartes associe sa couleur Une application est donc un objet issu de la théorie des ensembles dé ?ni par son graphe et associé aux notions d'image et d'antécédent Elle peut être injective ou surjective selon l'unicité ou l'existence d'un antécédent pour chaque élément de l'ensemble d'arrivée Une application possédant ces deux propriétés est une bijection qui admet alors une application réciproque Les applications peuvent aussi être composées ou restreintes à un sous-ensemble de leur ensemble de départ En dehors du contexte de l'analyse le terme est spéci ?é entre autres en géométrie a ?ne en algèbre linéaire en topologie et dans la théorie des systèmes dynamiques Il est parfois remplacé par celui d'opérateur ou de morphisme voire de èche notamment en théorie des catégories Fonction et application La notion de fonction en tant que correspondance entre deux types d'objet est relativement ancienne Mais le terme n'apparait qu'à la ?n du xviie siècle sous la plume de Leibniz en il s'agit alors de fonction associée à une courbe géométrique Leibniz dit ainsi que l'abscisse l'ordonnée ou le rayon de courbure d'une courbe en un point M est une fonction du point M Dans la même époque Newton parle de uente pour des quantités dépendant d'une variable qu'il appelle le temps tout en précisant que le rôle joué par le temps peut l'être par une autre quantité La notation sous la forme f ne s'est pas mise en place tout de suite Jean Bernoulli propose en d'appeler X une fonction de x puis fx en Leibniz invente une notation permettant de travailler sur plusieurs fonctions di ?érentes displaystyle overline x underline overline x underline et displaystyle overline x underline overline x underline sont ainsi deux fonctions dépendant de x Euler reprend la notation fx en Les fonctions sont alors toujours à valeurs numériques réelles ou complexes et possèdent en outre des propriétés restrictives liées à une équation algébrique continuité eulérienne développable en série entière Parallèlement se développe en géométrie la notion d'application pour des correspondances ponctuelles La notion de fonction ou application est généralisée d'abord à plusieurs variables numériques à une variable qui est une courbe Vito Volterra puis Maurice Fréchet en et Eliakim Hastings Moore prennent l'argument dans un ensemble arbitraire et Fréchet en la valeur