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m s 1 15 16 Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar - Devoir de Synthèse N ème M Heures Exercice points ?? ?? Soit ABC un triangle équilatéral tel que ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? AB AC ? ? ? On désigne par D le symétrique de C par rapport à ?? AB ?? et par J le

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar - Devoir de Synthèse N ème M Heures Exercice points ?? ?? Soit ABC un triangle équilatéral tel que ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? AB AC ? ? ? On désigne par D le symétrique de C par rapport à ?? AB ?? et par J le milieu de ?? BC ? et par K le milieu de ?? BD ? a Montrer qu ? il existe un unique déplacement f tel que f ??C ?? ? B et f ?? B ?? ? D b Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f Soit ?? C ?? le cercle de centre B et passant par A Soit M un point du cercle ?? C ?? et M ' son image par f a Montrer que si M décrit le cercle ?? C ?? alors M ' décrit un cercle ?? C ' ?? qu ? on précisera b Soit I le deuxième point d ? intersection des cercles ?? C ?? et ?? C ' ?? Montrer que si M est di ?érent de A les points I M et M ' sont alignés Soit g l ? antidéplacement dé ?ni par g ??C ?? ? B et g ?? B ?? ? D a Montrer que g est une symétrie glissante Préciser son axe et son vecteur b Véri ?er que g ? S ?? BD ?? ? f c Déterminer l ? ensemble des points N du plan tels que g ?? N ?? ? f ?? N ?? Exercice points On considère dans ? l ? équation ?? E ? ?? iz ? e i ? z ? i e i ? ? ? Véri ?er que e i ? ? ? cos ? ?? ? ? ? e i ? ?? ? On note z et z les solutions de l ? équation ?? E ? ?? Sans calculer z et z a Montrer que arg z ? arg z ? ? ? ? b Montrer que arg ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? z z ? c Déterminer la valeur de ? pour laquelle z ? z ? ?? ?? ?? a Calculer e i ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? b Résoudre dans ? l ? équation ?? E ? ?? ?? ?? Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O u v ?? ?? On considère les points N et M d ? a ?xes respectives z N ? ??i et z M ? i ? e i ? a Ecrire z M sous forme exponentielle b Déterminer la valeur de ? pour laquelle le triangle ONM soit isocèle en O Déterminer et construire l ? ensemble des points M lorsque ? varie dans ?? ? ?? ? ?? ?? ? www mathsplus tk CLycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar - Devoir de Synthèse N