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Analyse combinatoire 1 ANALYSE COMBINATOIRE Introduction L ? analyse combinatoire est l ? étude mathématique de la manière de ranger des objets L ? analyse combinatoire est un outil utilisé dans le calcul des probabilités L ? analyse combinatoire a pour b

ANALYSE COMBINATOIRE Introduction L ? analyse combinatoire est l ? étude mathématique de la manière de ranger des objets L ? analyse combinatoire est un outil utilisé dans le calcul des probabilités L ? analyse combinatoire a pour but l ? étude des di ?érentes dispositions que l ? on peut former à partir d ? un ensemble d ? éléments On distingue trois types de dispositions ?? Arrangement ?? Combinaison ?? Permutation Factorielle n Soit n un entier naturel non nul n ?? N on dé ?nit n ? ? ? ? ? n qui se lit ??factorielle n ? Exemple ? ? ? ? Par convention on pose Arrangement - Arrangements avec répétitions On appelle arrangements sans répétitions de p éléments distincts pris dans un ensemble de n éléments distincts n ? p les di ?érentes façons d ? ordonner ces p éléments distincts Le nombre d ? arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est Anp n n ??p Remarque Pour p n on retrouve le cas de la permutation sans répétition Ann n n ?? n n Exemple On tire boules numérotées prises parmi sans remise il y a A ?? ? ? Exemple De combien de manières peut-on placer dossiers di ?érents dans casiers vides à raison d ? un dossier par casier Réponse A ?? ? ? ? ? ? Arrangements avec répétitions ? Le nombre d ? arrangements avec répétitions de p éléments non-distincts parmi n éléments distincts est égal à np Exemple Combinaison On appelle combinaison de p éléments pris parmi les n éléments tout ensemble que l ? on peut former en choisissant p de ces éléments sans tenir compte de l ? ordre Dans une combinaison on ne tient pas compte de l ? ordre C np p n n ?? p CExemple Vingt chevaux numérotés de ? participent à une course Combien de quartés peut-on former dans le désordre Réponse C ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C Exemple Une entreprise veut engager ingénieurs dans quatre spécialités di ?érentes Six ingénieurs se présentent Combien de choix s ? o ?re en embauche dans les trois cas Les six ingénieurs sont polyvalents Un seul est polyvalent pour les quatre branches et cinq ne le sont pas Parmi les six ingénieurs se trouvent trois hommes et trois femmes tous polyvalents l ? équipe recherchée doit avoir deux ?lles et deux hommes Réponse Parmi les six ingénieurs C ?? ? ? ?? C Un polyvalent ? C ?? ? ? ? Parmi les six ingénieurs se trouvent trois hommes et trois C ? C ?? ? ?? ? ? ? ? ? Permutations Permutations sans répétition Une permutation sans répétition est un classement ordonnée de n objets distincts Dé ?nition On appelle permutation toute suite ordonnée de n éléments Le nombre de permutation est Pn n? n ?? ? n ?? ? ? ? n Exemple Le nombre de permutations des lettres du mot GYMNASE