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Chapitre 2 9 Chapitre N lois Usuelles CLes lois continues Loi normale ou loi de Gauss Une variable aléatoire réelle X suit une loi normale ou loi gaussienne loi de Laplace- Gauss d ? espérance et d ? écart type ? nombre strictement positif car il s ? agit

Chapitre N lois Usuelles CLes lois continues Loi normale ou loi de Gauss Une variable aléatoire réelle X suit une loi normale ou loi gaussienne loi de Laplace- Gauss d ? espérance et d ? écart type ? nombre strictement positif car il s ? agit de la racine carrée de la variance ? ? si cette variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p x dé ?nie pour tout nombre réel x par CLoi normale ou loi de Gauss La densité de probabilité d ? une loi normale Une telle variable aléatoire est alors dite variable gaussienne CLoi normale ou loi de Gauss Notation Une loi normale sera notée de la manière suivante N ? car elle dépend de deux paramètres la moyenne et ? l ? écart-type Ainsi si une variable aléatoire X suit N ? alors E X et V X ? ? CLoi normale ou loi de Gauss Cas Particulier Lorsque la moyenne et ? ? la loi sera notée N et sera appelée loi normale standard ? Sa densité de probabilité f est dé ?nie sur IR par CRemarque ?? f est continue dérivable strictement positive sur IR ?? f est paire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l ? axe des ordonnées CCourbe représentative de la densité de probabilité d ? une N CCourbe représentative de la densité de probabilité d ? une N ? CRemarques ? ? CFonction de répartition Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite La fonction de répartition associée à la variable X est la fonction F dé ?nie par CFonction de répartition CFonction de répartition CFonction de répartition CFonction de répartition La fonction F ne peut pas s ? exprimer à l ? aide de fonctions usuelles On ne connait pas la primitive explicite de la fonction f dé ?nie par On peut utiliser la calculatrice ou un tableur pour obtenir une valeur approchée de la probabilité cherchée CExemple X suit une loi N Calculer avec Excel Formule Excel loi Normale - loi Normale - Calculer Formule Excel -loi Normale - Calculer loi Normale CPropriété Soit X une variable aléatoire suivant la loi N F la fonction de répartition associée à X Pour tout nombre réel x on a F -x -F x Application Utiliser la propriété précédente pour calculer CApplication F donc f - -f Par suite P - ? X ? F -F - P x - P X CLa loi de khi-deux Soit une série de variables aléatoires indépendantes de même loi N Alors la variable aléatoire suit une loi de Khi-deux à v degrés de liberté notée n CFonction caractéristique La fonction caractéristique de la loi de est CLa densité de probabilité O? CEspérance et variance E Y n et v Y n CDensité de probabilité La courbe de densité de probabilité de n a pour équation C D ?? o? k est tel que l ? aire sous la courbe vaut on observe