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Chapitre 1 1 analyse numerique

Université Hassan er Année universitaire - Faculté des Sciences et Techniques Parcours GE-GM Département de Mathématiques et Informatique Analyse Numérique ?? Chapitre Résolution numérique des équations et systèmes non linéaires ?? Résolution numérique des équations Position du problème Soit f R ?? ? R une fonction donnée On désire trouver une ou plusieurs solutions de l ? équation f x L ? application f est en outre supposée continue et dérivable autant de fois qu ? il est nécéssaire sur l ? intervalle o? sont recherchées les racines réelles de l ? équation f x Séparation des racines Dé ?nition Une racine s est dite séparée dans un intervalle si cet intervalle contient uniquement cette racine s Figure Exemple de séparation dans a b des racines d ? une fonction Pour procéder à la séparation des racines il existe essentiellement deux types de méthodes les méthodes graphiques et les méthodes algébriques ? Méthode graphique Nous pouvons localiser assez sommairement les racines de l ? équation f x en considérant le graphe de y f x exemple Figure ? Méthode algébrique La condition f a f b implique que l ? équation f x a au moins une racine dans a b théorème des valeurs intermédiaires cette racine étant unique si f x dans a b CNous pouvons utiliser l ? algorithme suivant qui permet une séparation plus précise localisation Algorithme de Dichotomie Considérons l ? équation f x o? la fonction est telle que f a f b et f x dans a b ce qui assure l ? existence d ? une racine unique dans l ? intervalle a b a b Désignons par x le milieu du segment a b x Alors ? ou bien f x et x est racine de l ? équation ? ou bien f x Dans ce dernier cas la racine est dans l ? un des intervalles a x et x b Pour savoir dans lequel des deux formons les produits f a f x et f x f b l ? un de ces produits est négatif par exemple le premier La racine se trouve donc séparéee dans l ? intervalle a x moitié de l ? intervalle initial a b L ? intervalle a x est maintenant designé par a b Divisons à nouveau le segment a b en deux et reprenons le raisonnement précédent En poursuivant ainsi la dichotomie nous obtenons ainsi soit une racine exacte soit une suite in ?nie de segments emboités a b a b an bn tels que F F F F F F f an f bn F F b ??a F F F F F F bn ?? an n Notons que ? Les extrémités a a an forment une suite croissante majorée par b ? Les extrémités b b bn forment une suite décroissante minorée par a Les deux suites sont dons adjacentes Elles ont donc une limite commune s lim n ?? ? ? an lim n ?? ? ? bn