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S2cours4 Universit ?e de Nice D ?epartement de Math ?ematiques SV ann ?ee - Math ?ematiques pour la Biologie semestre Cours Loi de conservation du syst eme de Lotka-Volterra Le systeme de Lotka-Volterra permet comme on l ? a vu de modeliser la dynamique d

Universit ?e de Nice D ?epartement de Math ?ematiques SV ann ?ee - Math ?ematiques pour la Biologie semestre Cours Loi de conservation du syst eme de Lotka-Volterra Le systeme de Lotka-Volterra permet comme on l ? a vu de modeliser la dynamique de deux populations pr ?esentant une relation de type proies-pr ?edateurs Ce systeme possede ce que l ? on appelle une loi de conservation c ? est-a-dire une quantit ?e qui d ?epend des deux tailles de population x et y que l ? on note H x y et qui reste constante sur les trajectoires de la dynamique En math ?ematique on appelle aussi parfois une telle loi de conservation une int ?egrale premiere L ? ?etude de cette fonction H sera l ? occasion d ? aborder la question des fonctions de plusieurs variables ici deux variables leurs d ?eriv ?ees partielles leurs graphes qui sont des surfaces leurs courbes de niveau C ? est l ? objet de cette lec on On verra que l ? ?etude de la loi de conservation du systeme de Lotka-Voterra fournita elle seule tous les renseignements que l ? on peut souhaiter avoir sur le comportement du syst eme Courbes de niveau Les courbes de niveau sont en cartographie les courbes reliant les points de la carte ayant la m eme altitude un chemin qui suit les courbes de niveau est a plat il ne monte ni ne descend s ? il est tranverse aux courbes de niveau il monte ou il descend passant d ? un niveau a un autre niveau A cot ?e des courbes d ? ?egale altitude il y a beaucoup d ? autres exemples de courbes de niveau comme les courbes d ? ?egale temp ?erature isothermes ou d ? ?egale pression isobares en m ?et ?eorologie Math ?ematiquement la courbe de niveau k d ? une fonction f de deux variables x y ? f x y est l ? ensemble des points du plan x y qui v ?eri ?ent l ? ?equation f x y k Exemple Par exemple la courbe de niveau k de la fonction f x y ?? x ?? y a pour ?equation ?? x ?? y c ? est donc la droite d ? ?equation y ?? x ?? De m eme la courbe de niveau k de la fonction g x y x y a pour ?equation x y c ? est donc un cercle de centre et de rayon r Les ?gures suivantes montrent leur repr ?esentation graphique Z -- - - X Y - - - - - - - - - D ?eriv ?ees partielles Comment peut-on tracer les courbes de niveau d ? une fonction donn ?ee f x y En g ?en ?eral on a recours a un logiciel qui lui-m eme utilise pour cela les d ?eriv ?ees partielles de la fonction Qu ? est-ce qu ? une d ?eriv ?ee partielle Si f a deux variables x