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Corrigetpmodelisation pdf Université de Bordeaux Modélisation et Calcul scienti ?que L IngéMaths TP - Méthodes numériques - Corrigé Ordre de la méthode d ? Euler point milieu On utilisera dans cet exercice l ? exemple modèle précédent y t ?? ty avec la co

Université de Bordeaux Modélisation et Calcul scienti ?que L IngéMaths TP - Méthodes numériques - Corrigé Ordre de la méthode d ? Euler point milieu On utilisera dans cet exercice l ? exemple modèle précédent y t ?? ty avec la condition initiale y dont la solution exacte est donnée par y t e ?? t On rappelle que la méthode d ? Euler point milieu consiste à calculer la suite yn d ? approximations de la fonction y de la façon suivante yn yn h f tn yn yn yn hf tn h yn ? Écrire une fonction sol tps Eulerpointmilieu o? sol sera la liste des valeurs yn calculées avec la méthode d ? Euler point milieu et tps la liste des temps considérés C ? Déterminer numériquement l ? ordre de la méthode d ? Euler point milieu On exécute le script suivant dans lequel on réutilise les ?chiers ? f sci ? et ? yex sci ? écrits dans le cadre de la méthode d ? Euler explicite et on obtient la courbe d ? erreur suivante ce qui nous dit numériquement que la méthode d ? Euler point milieu est d ? ordre C Méthode de Newton La méthode de Newton permet d ? approcher la solution d ? une équation F x o? F Rd ? Rd est di ?érentiable Partant d ? une approximation initiale x ?? Rd la suite xk est construite par récurrence xk xk ?? F xk ?? F xk ? Programmer une fonction scilab avec l ? entête suivant f unction x N ewton F DF x T ol M axIter qui renvoie une approximation de la solution x ? Tester cette fonction sur l ? exemple monodimensionnel F x ex ?? e On écrit d ? abord deux scripts pour dé ?nir la fonction F ainsi que sa dérivée Puis on exécute la fonction Newton directement dans la console C Méthode d ? Euler implicite A l ? aide de la fonction précédente programmer une fonction scilab qui met en oeuvre la méthode d ? Euler implicite dont l ? itération s ? écrit yn yn hf tn yn ? La fonction F qui dé ?nit le système à résoudre à chaque itération dépend de yn et de h Écrire une variante de la fonction N ewton précédente pour prendre en compte ces deux arguments supplémentaires ? Comparer la méthode d ? Euler explicite et la méthode d ? Euler implicite sur le problème raide y t ?? y t ?? cos t On commence par dé ?nir la fonction f t y sa dérivée ainsi la fonction F et sa dérivée intervenant dans la méthode de Newton CPour comparer les deux méthodes on exécute le script suivant ce qui nous donne le graphe suivant C Méthode de Runge Kutta Dans cet exercice on cherche à résoudre numériquement le système di ?érentiel associé à l ? équation di ?érentielle d ? ordre décrivant le mouvement d ? un