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Devoir 1 logique sommes binome de newton

?Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci - DEVOIR SURVEILLÉ n du samedi septembre Durée heures de h à h Les calculatrices sont interdites Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées Plutôt calculatoire Exercice Calcul de sommes Soit n ?? N ? Calculer les sommes suivantes n i i n ?? ?? k n k k k i j j ijn Exercice Une somme classique par récurrence Démontrer par récurrence que pour tout n ?? N ? on a n ?? k k ?? n n n k Exercice Nombres complexes et Brevet de trigonométrie Les trois questions sont indépendantes Calculer l ? intégrale ? sin x dx Donner le module et l ? argument principal du nombre complexe Z i ? e Représenter en justi ?ant l ? ensemble des points d ? a ?xe z tel que z ?? ?? iR iR désigne l ? ensemble des imaginaires purs Moins calculatoire Exercice Négations en vrac Pour chaque assertion écrire sa négation puis préciser si l ? assertion est vraie ??x ?? ?? ??y ?? ?? y x ??x ?? ? x x ??x ?? R x ?? x Exercice Questions en vrac Les questions sont indépendantes Soit x un élément d ? un ensemble E Déterminer P x puis P P x Soit P et Q deux assertions Est-ce que l ? assertion P ?? Q est équivalente à l ? assertion non P ou Q Justi ?er Soient X Y et Z des parties d ? un ensemble E Démontrer que X Y ?? Z X Y ?? X Z Soit A B et C trois parties d ? un ensemble E On suppose que A ?? B A ?? C et A ?? B A ?? C Démontrer que B C Le résultat subsiste-il si l ? on suppose seulement que A ?? B A ?? C Exercice Un peu de dénombrement Déterminer le nombre d ? éléments des ensemble suivants o? n ?? N ? A x y z ?? n B est l ? ensemble des triplets x y z d ? élements distincts de n C x y z ?? n x y z C ?Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci - Pour ?nir Exercice Une équation fonctionnelle Le but de l ? exercice est de déterminer toutes les fonctions f dé ?nies sur R véri ?ant la propriété P ?? x y ?? R f x f y f x f y Pour cela on raisonne par analyse-synthèse Analyse soit f une fonction véri ?ant la propriété P a Quelle s valeur s peut prendre f b Que dire de f si f c Que dire de f si f Synthèse quelles sont les fonctions véri ?ant la propriété P Exercice Le dernier Soit n ?? N ? et x xn des réels tels que n n xk xk n k k Démontrer que x x xn Fin de l ? énoncé Bonus soit x xn