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Devoir commun math 6 lycee jacques prevert corrige

Lycée Prévert Devoir commun de Mathématiques du troisième trimestre Premières S Corrigé EXERCICE Fonctions Recherche d'un maximum Partie A Restitution organisée de connaissances points On rappelle la proposition suivante Proposition Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors la fonction u? v est dérivable sur I ? Donnez la formule de dérivation d'un produit en recopiant et complétant u x ? v x ' u x ' v x u x v x ' Soit la fonction f dé ?nie sur ? par f x x ?? x a En utilisant la proposition et la question montrez que f est dérivable sur ? et calculez f ' x en détaillant tous vos calculs la fonction u dé ?nie par u x x est dé ?nie et dérivable sur donc aussi sur ? la fonction v dé ?nie par v x ?? x est dé ?nie sur ? mais dérivable seulement sur ? donc d'après la proposition la fonction f est dérivable au moins sur I ? Nous calculons f ' x sur I en utilisant la formule de dérivation d'un produit u x x u' x v x ?? x v ' x ?? x donc f ' x ? ?? x x? ?? x On réduit au même dénominateur f ' x ?? x? ?? x ??x x x ??x b Étudiez la dérivabilité à droite en zéro de la fonction f Aide On rappelle la condition de dérivabilité en zéro Si la limite du taux d'accroissement f h ?? f h quand h tend vers zéro h existe alors la fonction f est dérivable en zéro à droite et lim h ? f h ?? h f f ' ? On calcule le taux d'accroissement f h ?? h f h ?? h ?? ?? h h ??h h ?? h puis la limite de ce taux lorsque h tend vers zéro en restant positif lim h ? f h ?? h f lim h ? ?? h La fonction f est donc dérivable en zéro à droite et f ' On peut en conclure que la fonction f est dérivable sur ? Énoncez la proposition réciproque de la proposition et prouvez que cette réciproque est fausse en fournissant un contre-exemple Proposition Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors la fonction u? v est dérivable sur I ? La réciproque est Si la fonction u? v est dérivable sur un intervalle I alors u et v sont deux fonctions dérivables sur I ? Cette réciproque est FAUSSE comme le montrent les questions précédentes la fonction produit f u? v est dérivable sur ? alors que l'une des fonctions v n'est pas dérivable sur ? Partie B Étude d'une fonction Soit g la fonction dé ?nie sur par g x ?? x ?? x et Cg sa représentation graphique dans un repère du plan Montrez en détaillant les calculs que g ' x ?? ??xx Page sur CLa