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Devoir m1 math Master Processus stochastiques F Merlevède E Clément P -M Samson Université Gustave Ei ?el Année ?? Devoir pour le novembre Exercice Soit Zn n ? une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p ?? On pose X

Master Processus stochastiques F Merlevède E Clément P -M Samson Université Gustave Ei ?el Année ?? Devoir pour le novembre Exercice Soit Zn n ? une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p ?? On pose X et pour n ? F F F F F F si Zn Xn n si Z Z Zn F F F F i si i ? n ?? et Zn ??i Zn ??i Zn ??i Zn Ainsi Xn est la longueur de la série de de la suite Zn n ? se terminant à l ? instant n Montrer que Xn n ? est une cha? ne de Markov homogène et déterminer sa matrice de transition Véri ?er que Xn admet une unique probabilité invariante que l ? on explicitera Calculer Pin j On distinguera j ? j ? n ?? j n j n En déduire limn ? ? Pin j Que peut on dire de n ? P n Qu ? en déduit-on pour l ? état Véri ?er que la cha? ne est récurrente Exercice On considère une cha? ne de Markov Xn n ? dont l ? espace des états est N et dont la probabilité de transition p est irréductible Pour deux constantes R et R ? et on suppose que ??a R c ?? a p a c ? ?? c ??N Montrer que cette dernière condition s ? écrit encore Ea X ? a ?? pour tous a R En donner une interprétation par une phrase On considère T inf n ? Xn ? R et Zn Xn T ? n Pour a R et n entiers c cn strictement supérieurs à R et n ? prouver Ea Zn X c Xn cn ? cn ?? Indication si Y est une variable aléatoire discrète à valeurs dans E et B un événement on a X B y ??E x X y B En déduire que pour tout a R et n ? ? Ea Zn ? Ea Zn ?? Pa T n En déduire que Ea T ? a pour tout a R Indication on admettra que Ea T On suppose dans cette question que R ? n Pa T n a Justi ?er l ? égalité T T b Expliquez pourquoi Pa T ? pour a ? Indication utiliser le résultat de la question c Montrer que E T p a Ea T a ? d En déduire que si E X ? alors E T ? et la cha? ne de Markov est récurrente positive Indication utiliser le résultat de la question C