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Chapitre 2 denombrement CHAPITRE II DENOMBREMENTS I ?? Dé ?nitions Disposons dans un sac une urne n jetons Ces jetons portent des signes chi ?res symboles ? qui les rendent tous discernables entre eux Tirages Prélevons au hasard un jeton dans le sac et no

CHAPITRE II DENOMBREMENTS I ?? Dé ?nitions Disposons dans un sac une urne n jetons Ces jetons portent des signes chi ?res symboles ? qui les rendent tous discernables entre eux Tirages Prélevons au hasard un jeton dans le sac et notons le résultat Le tirage peut se poursuivre p fois de deux façons di ?érentes Tirages avec remise une fois tiré le jeton est remis dans le sac Il peut donc sortir à nouveau La composition du sac n'évolue pas au cours des tirages successifs On peut alors considérer qu'il est équivalent de tirer successivement un jeton dans p sacs identiques Remarquons que p peut être supérieur à n Tirages sans remise un jeton tiré est exclu des tirages suivants et la composition du sac évolue à chaque tirage Ici p ? n Résultats Un résultat est l'ensemble de p jetons et il y a deux façons de l'analyser Résultats ordonnés On tient compte de l'ordre d'apparition des jetons au cours des tirages successifs On appelle ces résultats des arrangements Résultats non ordonnés On ne tient pas compte de l'ordre d'apparition des jetons mais uniquement de leur présence ou non dans un résultat On appelle ces résultats des combinaisons Nous avons donc quatre situations Arrangements Avec remise Sans remise Combinaisons Avec remise Sans remise R Hallegatte Polytech ? Marseille C II - Arrangements avec remise Tirer p objets avec remise dans une urne est équivalent à tirer un objet successivement dans p urnes identiques Résultat du premier tirage Résultat du deuxième tirage ? ? ? Résultat du p ième tirage n possibilités n possibilités n possibilités Pour n résultats du premier tirage le deuxième engendre n x n tirages di ?érents et ainsi de suite ? Au total le nombre de tirages di ?érents est A p n np Ex Un sac contient jetons numérotés de à On tire avec remise jetons il y a résultats di ?érents On tire avec remise lettres de l'alphabet il y a mots di ?érents Les arrangements avec remise sont typiques des lancers de dès On lance fois un dé Il y a résultats di ?érents III - Arrangements sans remise Premier tirage n possibilités Il reste n- jetons C Deuxième tirage n- possibilités Il reste n- jetons ? ? ? p ième tirage n-p possibilités Donc au total n n - n - ? n - p résultats di ?érents Cela s'écrit encore Soit ?nalement n n ?? n n ?? p n ?? p n ?? p ?? n ?? p n ?? p ?? A p n n n ??p Ex On tire sans remise lettres de l'alphabet Il y a mots di ?érents ?? Di ?érence essentielle entre les résultats des tirages avec ou sans remise Sans remise tous les éléments d'un résultat sont discernables entre eux Un résultat du type a e b a est impossible Avec remise les éléments du résultat ne sont pas obligatoirement discernables et un résultat du type précédent est possible Cela entra? nera