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Eqnonlin cours 1 E Annaba STI Chapitre Résolution d ? Équations Non Linéaires - Introduction La modélisation de certains phénomènes physiques mène parfois à des équations non linéaires de la forme f x mais parfois une telle équation ne peut être résolue a

E Annaba STI Chapitre Résolution d ? Équations Non Linéaires - Introduction La modélisation de certains phénomènes physiques mène parfois à des équations non linéaires de la forme f x mais parfois une telle équation ne peut être résolue analytiquement Par exemple x x ?? x x x ou encore l n x arctan x On a alors recours à des méthodes numériques Bissection Point ?xe Newton-Raphson pour approcher la solution Beaucoup de méthodes existent et le choix de la méthode à adopter est spéci ?que à l ? équation considérée c ? est à dire qu ? il se peut qu ? une méthode soit ef ?cace pour la résolution d ? une équation moins ef ?cace pour une deuxième et voire divergente pour d ? autres Si pour une équation deux méthodes convergent celle dont la vitesse de convergence est meilleure sera alors choisie L ? étude de convergence la vitesse de convergence et la comparaison de quelques méthodes numériques de résolution d ? équations non linéaires font l ? objet du présent chapitre On considère une fonction réelle f dé ?nie et continue sur un intervalle a b a b et admet une racine uniquesur I a b c ? est à dire qu ? il existe un unique r ?? I tel que f r - Position du problème On veut résoudre une équation de la forme f x x ?? a b ? D f Dé ?nition Une solution de l ? équation est appelée racine ou zéro de la fonction f et est notée r Théorème TVI Soit f a b ? R une fonction continue sur l ? intervalle a b Si f a ? f b alors il existe au moins r ?? a b tel que f r Ce théorème garanti juste l ? existence de la solution L ? unicité découle de la stricte monotonie de la fonction f dans l ? intervalle a b Corollaire Soit f a b ? R Si ème année Analyse Numérique CE Annaba STI ? f est continue sur a b ? f est strictement monotone sur a b ? f a ? f b Alors il existe un unique r ?? a b tel que f r Le principe de toutes les méthodes itératives est de générer une suite xn convergente sous certaines conditions vers la solution recherchée racine ou point ?xe En cas de convergence les termes de cette suite sont des approximations de cette solution d ? o? l ? appellation méthodes des approximations successives - M ?ethodes de r ?esolution - Méthode de Bissection Dichotomie - Principe de la méthode On considère une fonction f continue de a b dans R On suppose que f a ? f b et que l ? équation f x admet une solution unique r ?? a b La méthode de Bissection consiste à construire une suite xn qui converge toujours vers la racine r et ce en encadrant par le TVI cette racine