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Les lois de la probabilite

Chapitre LES LOIS DES PROBABILITÉS Le temps est venu d ? étudier les lois des probabilités les plus courantes et leurs applications La loi binomiale Considérons une population dont les individus en proportion p sont distingués par une caractéristique remarquable population d ? électeurs qui se proposent de voter Clovis parmi les diverses possibilités qui sont o ?ertes lot de pièces défectueuses ou non que l ? on se propose d ? acquérir ou non boules vertes dans une urne etc Dans la population on tire un individu au hasard de telle sorte que tous les individus soient équiprobables Une telle épreuve est une épreuve de Bernoulli avec un seul i On construit une variable aléatoire X qui prend la valeur si l ? individu tiré au hasard présente la caractéristique remarquable évoquée et la valeur dans le cas contraire Une telle variable est une variable de Bernoulli variable X probabilité p q ??p On utilise les dé? nitions pour calculer l ? espérance E X X de la variable X et son écart-type ?X E X X p et ?X ??p p q p ?? p On considère une suite de n épreuves de Bernoulli successives et indépendantes On peut ainsi modéliser un sondage pré-électoral ? ou un échantillon de pièces tirées du lot à acheter Un tirage est une succession de et de en nombre n On additionne toutes les valeurs des n variables aléatoires obtenues On construit ainsi la variable aléatoire Z X X Xn o? Xj est la variable aléatoire X de rang j ce n ? est pas ici l ? une des valeurs possible de la variable X comme ce fut le cas dans quelques circonstances précédentes La valeur obtenue pour Z est un entier k qui est égal au nombre de obtenus dans le tirage nombre d ? électeurs qui ont l ? intention de voter Clovis La variable Z suit une loi binomiale proba Z k Cnk pk ?? p n ??k avec Cnk n k n ?? k ? Le plus souvent pour des raisons d ? économie les instituts de sondage n ? utilisent pas cette méthode mais la méthode des quotas qui consiste à interroger un échantillon réduit que l ? on croit représentatif C Les lois des probabilités Cnk est le nombre de suites di ?érentes de n nombres comportant k fois le nombre et n ?? k fois le nombre tandis que pk q n ??k pk ?? p n ??k est la probabilité pour que l ? une quelconque des suites précédentes soit le résultat des n épreuves de Bernoulli On peut calculer l ? espérance la variance et l ? écart-type de la loi binomiale précédente en utilisant les propriétés concernant la somme de variables indépendantes cf E Z Z n ? E X n p V Z n ? V X np ?? p p ?? ?Z n p ?? p n ?X La variable Z est la fréquence absolue des observations X dans