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Corrige exo73 Exercice page Méthode des directions alternées On a vu en cours qu ? une méthode itérative dé ?nie par u ?? IRn u k Bu k c converge si et seulement si ? B Mettons donc l ? algorithme sous la forme On a Y Id u k ??X X Id ?? ??Y u k b b soit e

Exercice page Méthode des directions alternées On a vu en cours qu ? une méthode itérative dé ?nie par u ?? IRn u k Bu k c converge si et seulement si ? B Mettons donc l ? algorithme sous la forme On a Y Id u k ??X X Id ?? ??Y u k b b soit encore u k Y Id ?? X X Id ?? Y u k ?? Y Id ?? X X Id ?? b Y Id ?? b On peut donc bien écrire la méthode sous la forme avec B Y Id ?? X X Id ?? Y et la méthode dé ?nie par converge si et seulement si ? B Il reste à montrer qu ? elle converge vers u solution de Au b Soit u lim u k On veut montrer que Au b Comme u k converge et u ? ? que u k est dé ?ni par on a aussi que u k converge Soit v lim u k En passant h ? ? à la limite dans on obtient X Id v ??Y u b Y Id u ??Xv b En additionnant et retranchant ces deux équations on obtient Xv Y u Id u v ??Y u ?? Xv b Xv ?? Y u Id v ?? u ??Y u Xv a b L ? équation b entra? ne Id v ?? u c ? est ??à ??dire v u car ?? et en reportant dans a on obtient X Y u u ?? X Y u b soit encore X Y Id u b c ? est ??à ??dire Au b On veut montrer que si X I d et Y Id sont dé ?nies positives alors ? X Id ?? Y Y Id ?? X On utilise la méthode proposée par l ? énoncé a Gr? ce à l ? exercice sur les valeurs propres d ? un produit de matrices on sait que les valeurs propres de Y Id ?? X X Id ?? Y sont égales aux valeurs propres de Y Y Id ?? X X Id ?? On a donc ? Y Id ?? X X Id ?? Y ? X X Id ?? Y Y Id ?? b Comme les matrices X X Id ?? et Y Y Id ?? sont symétriques en posant Z Y Y Id ?? X X Id ?? on a ? Z ? Y Y Id ?? X X Id ?? ? ? ? Y Y Id ?? ? ? X X Id ?? ? et donc ? Z ? ? X X Id ?? ? Y Y Id ?? Cc Soit ? valeur propre de X associée au vecteur propre w On a Xw ?w et X Id w ? w soit encore w ? X Id ?? w Donc Xw ? X Id w soit encore X Id ?? Xw ? w ? ? On en déduit que ? est valeur propre de X X Id