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Utbm analyse numerique elementaire 2007 gm

Utbm mt Examen ?nal Automne Nb On rédigera les exercices sur des feuilles séparées On pourra admettre tout résultat intermédiaire a ?n de poursuivre la résolution d ? un exercice Exercice Le but de cet exercice est d ? approximer la fonction logarithme népérien notée ln par di ?érentes méthodes numériques Polynôme d ? interpolation a Donner la forme de Newton du polynôme d ? interpolation de la fonction ln sur le support b On considère la fonction erreur e dé ?nie par e x ln x ?? p x Étudier les variations de e sur En déduire que l ? erreur est maximale en valeur absolue pour x ln donner la valeur maximale de e sur Méthode du point milieu Pour la suite du problème on rappelle que la fonction ln est dé ?nie par ln x x t dt Nb On remarquera ici que la variable d ? intégration est t et non x la variable x elle dé ?nit le segment d ? intégration a Montrer en utilisant la méthode d ? intégration du point milieu que x t dt ?? x x ?? b Étudier les variations de la fonction erreur eM dé ?nie sur pour cette méthode par eM x ln x ?? x x ?? c En déduire la valeur maximale de eM sur Intégration gaussienne Maintenant on cherche à évaluer ln x x t dt par une intégration de Gauss-Legendre à deux points a Montrer en précisant le changement de variable à réaliser que x t dt ?? x ?? x ?? u x du b En déduire en majorant l ? erreur de méthode eG commise dans l ? évaluation de I que cette méthode donne une approximation de ln x à ?? près sur C Discussion a Remarques générales ? La di ?érence de précision entre les méthodes et est-elle surprenante ? Au vu des calculs e ?ectués par quel type d ? objets mathématiques a-t-on approché ln x dans les parties et Même question pour la partie b Généralisation ? Si on veut une précision d ? ordre en utilisant la méthode de la partie comment opérer Fournir le plan de mise en oeuvre Exercice L ? objet de l ? exercice est l ? étude de la méthode de Müller extension de la méthode de la sécante utilisée dans le cadre de la résolution d ? équations non linéaires Soit f une fonction numérique qu ? on suppose dé ?nie sur R pour des raisons de simplicité Soit i un entier naturel supérieur ou égal à on considère trois réels notés xi xi ?? et xi ?? On fournit en page une représentation graphique générique de la situation o? ?gurent f et son polynôme d ? interpolation sur le support xi xi ?? xi ?? On considère l ? équation E f x et on note l la solution cherchée Etude mathématique préalable a Interpolation Fournir l ? écriture de Newton du polynôme interpolateur p de f sur le