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Analyse expose sss pdf 1 Frédéric Legrand Licence Creative Commons Introduction à l ? analyse spectrale Introduction Ce document est une introduction à l ? analyse spectrale des signaux périodiques Après avoir expliqué la décomposition d ? un signal pério

Frédéric Legrand Licence Creative Commons Introduction à l ? analyse spectrale Introduction Ce document est une introduction à l ? analyse spectrale des signaux périodiques Après avoir expliqué la décomposition d ? un signal périodique en somme de fonctions sinuso? dales on verra comment e ?ectuer l ? analyse spectrale d ? un signal échantillonné Série de Fourier et spectre d ? un signal périodique On considère un signal périodique représenté par une fonction u d ? une variable t réelle à valeurs réelles de période T et de classe C par morceaux La fréquence fondamentale du signal est f T D ? après le théorème de Fourier cette fonction peut s ? écrire comme une somme de si- nuso? des dont les fréquences sont multiples de la fréquence fondamentale La somme obtenue est la série de Fourier u t A P An cos ? n T t n n Dans certains cas la somme peut être stoppée à un rang P ?ni Dans d ? autres cas il faut en principe considérer la limite P ? ? Le terme de rang n est appelé l ? harmonique de rang n du signal c ? est une sinuso? de de fréquence n fn nf T L ? harmonique de rang n est dé ?ni par son amplitude An positive et son déphasage n Le terme constant A qui peut être vu comme le terme de fréquence nulle est la valeur moyenne du signal A T u t dt T Considérons comme exemple une fonction dont la série de Fourier s ? arrête au rang P On dit dans ce cas que le signal comporte trois harmoniques Par convention la période est prise égale à import numpy import math f def u t return numpy cos numpy pif t numpy cos numpy pif t-numpy pi CFrédéric Legrand Licence Creative Commons numpy cos numpy pif t numpy pi Pour tracer ce signal il faut l ? échantillonner c ? est-à-dire calculer les valeurs de u t pour des instants régulièrement répartis sur un intervalle et les placer dans un tableau Voici un échantillonnage sur deux périodes comportant points import numpy N Tmax Te Tmax N t numpy arange N Te x u t La courbe du signal est obtenue avec la fonction plot qui relie les points par des segments de droites Si la période d ? échantillonnage Te est petite par rapport à la période du dernièr harmonique ici celui de rang on obtient ainsi une bonne représentation graphique du signal from matplotlib pyplot import ?gure ?gsize plot t x xlabel ? t ? ylabel ? u ? axis - grid u t Le spectre du signal est la représentation graphique de l ? amplitude An en fonction de la fréquence Un signal périodique a en théorie un spectre discret formé de raies chacune correspondant à un harmonique Pour cet exemple il y a raies une pour la valeur moyenne fréquence nulle et raies pour les harmoniques de rang et ?gure