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Complexe ? - Gérard Lavau - http pagesperso-orange fr lavau index htm Vous avez toute liberté pour télécharger imprimer photocopier ce cours et le di ?user gratuitement Toute di ?usion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord d

? - Gérard Lavau - http pagesperso-orange fr lavau index htm Vous avez toute liberté pour télécharger imprimer photocopier ce cours et le di ?user gratuitement Toute di ?usion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement Vous ne pouvez pas télécharger les ?chiers de mon site pour les installer sur le vôtre LES NOMBRES COMPLEXES PLAN I Généralités Historique Dé ?nition Conjugaison Module et inégalité triangulaire Argument a Dé ?nition b Forme trigonométrique c Exponentielle complexe d Formule d'Euler e Groupes II Utilisation des complexes Formule de Moivre Linéarisation Réduction de acos bsin Racines d'un complexe a racine carrée méthode algébrique b racine nème méthode trigonométrique c racines nème de l'unité Interprétation géométrique I Généralités ?? Historique Les nombres complexes tels que nous les utilisons aujourd'hui datent du XIXème siècle Ils étaient cependant connus et utilisés depuis plusieurs siècles sous le nom de nombres imaginaires terme qui est resté dans l'expression partie imaginaire Ils sont apparus lorsque l'on a essayé de résoudre les équations du ème degré Le premier à avoir résolu des équations du ème degré du type x px q p q semble être Scipione Del Ferro ?? professeur à l'université de Bologne Il ne publia pas sa découverte mais la transmit à son élève Antonio Maria Fior En Tartaglia ?? soit à la lumière d'une indiscrétion soit par sa propre invention apprit également à résoudre les équations du ème degré Croyant à une imposture Fior lança un dé ? public à Tartaglia A la ?n du temps imparti Tartaglia avait résolu toutes les équations de Fior alors que celui ??ci n'avait résolu qu'une seule équation de Tartaglia La supériorité de Tartaglia provient du fait que ce dernier savait résoudre les équations du type x px q chose que Fior ne savait pas faire En Tartaglia accepta de dévoiler son secret à Cardan ?? qui le publia peu après malgré la colère de Tartaglia Un élève de Cardan Ludovico Ferrari ?? parvint à résoudre les équations du ème degré Signalons qu'on ne peut résoudre n'importe quelle équation - - Calgébrique par radicaux C'est impossible pour la plupart des équations du ème degré par exemple x x ?? a avec a Voici comment procède Cardan Considérant l'identité a b ab a b a b Cardan explique en comment résoudre les équations du type x px q en posant ab p et a b q Ayant trouvé a et b une solution est donnée alors par a b Exemple Résoudre x x F F ab F F a b F F F F a b ?? a b Donc a et b sont racines de l'équation X ?? X à savoir et Donc a et b Une solution de l'équation initiale est donc Les autres solutions sont trouvées en factorisant x ??