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Probabilite 1 Rappels sur le calcul des probabilités - Dé ?nition formelle ou axiomatique On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat est le choix ?? au hasard ? d ? un élément d ? un ensemble S l ? ensemble des épreuves On note E la c

Rappels sur le calcul des probabilités - Dé ?nition formelle ou axiomatique On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat est le choix ?? au hasard ? d ? un élément d ? un ensemble S l ? ensemble des épreuves On note E la classe des événements qui sont des sous-ensembles de S en ?n on assigne à chaque événement A de E une mesure de probabilité P qui véri ?e P ? P A ? P A B P A B si A et B sont mutuellement exclusifs dans E Ces trois axiomes constituent une dé ?nition implicite d ? une probabilité - Le triplet S E P est appelé espace probabilisé Propriétés ? P A ?? P A ? P A B P A P B ?? P AB Indépendance Deux événements sont indépendants si P A B P A P B Les événements A A An sont indépendants dans leur ensemble si P A An P A P An Rq des événements indépendants à ne le sont pas nécessairement dans leur ensemble Deux événements indépendants ne sont pas incompatibles En e ?et P A B P A P B incompatibles P A B P A P B - P A P B indépendants Probabilités conditionnelles P AB P A B P B P B A P A P A B est la probabilité conditionnelle de A si B est réalisé Pour des événements indépendants P A B P A La formule P A B P AB P B est la formule de BAYES Exemple canal binaire symétrique CIl s ? agit d ? un canal de transmission sur lequel on cherche à transmettre des et des En raison du bruit d ? observation on fait occasionnellement une erreur de décision en sortie c ? està-dire qu ? on décide un alors qu ? un a été envoyé et vice-versa On suppose le canal sans mémoire c ? est-à-dire que la sortie ne dépend que de l ? entrée à un instant donné On le suppose symétrique c ? est-à-dire que les erreurs interviennent avec la même probabilité q ? un ou un ait été émis On note P P X et P P X On a nécessairement P P La probabilité d ? erreur est notée P P P Y X P Y X La probabilité d ? obtenir un en sortie vaut alors P Y P Y X P X P Y X P X P P P Y X P Comme P Y X P Y X on a P Y X - P En ?n P Y P P - P P et de la même manière P Y P - P PP On résume ceci par le diagramme de transition Quelle est maintenant que l ? entrée soit à si la sortie est à La solution est donnée par la formule de BAYES P Y X P X P X Y P Y ?? P P PP ?? P P puis