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Probabilite discretes Mathe ?matiques - ECS Probabilite ?s discretes Lyce ?e La Bruyere avenue de Paris Versailles c Polycopié du cours de mathématiques de première année C Objectifs du programme Tribu d ? événements ou ?-algèbre d ? événements Généralisa

Mathe ?matiques - ECS Probabilite ?s discretes Lyce ?e La Bruyere avenue de Paris Versailles c Polycopié du cours de mathématiques de première année C Objectifs du programme Tribu d ? événements ou ?-algèbre d ? événements Généralisation de la notion de système complet d ? événements à une famille dénombrable d ? événements deux à deux incompatibles et de réunion égale à Une probabilité est une application P dé ?nie sur la tribu A à valeurs dans ?-additive telle que P Tribu engendrée par un système complet d ? événements Notion d ? espace probabilisé Propriétés vraies presque sûrement Événement négligeable événement presque sûr Théorème de la limite monotone Conséquences du théorème de la limite monotone Généralisation de la notion de probabilité conditionnelle Généralisation de la formule des probabilités composées Généralisation de la formule des probabilités totales Indépendance mutuelle d ? une suite in ?nie d ? événements Notation A On pourra donner quelques exemples signi ?catifs d ? évé n ? ements de la form ? e A An et A An n n On fera le lien avec le cas des univers ?nis en ex- pliquant que P est une tribu On pourra introduire di ?érentes tribus sur et montrer que le choix de la tribu dépend de l ? expérience que l ? on cherche à modé- liser Existence admise Notation A P ? Pour toute F EB suite ? F F croissante An d ? événements F ECF ECF ECF ECF EDF EC P F F F F F F F F F F F F An lim n ? ? P An n ? Pour toute F EB F F suite décroissante ? An d ? événements F EDF ECF ECF ECF ECF EC P F F F F F F F F F F F F An lim n ? ? P An n F EB Pour toute ? F F suite An F EB F F d ? événements n F EDF ECF ECF ECF ECF EC ? P F F F F F F F F F F F F An lim n ? ? P F EDF ECF ECF ECF ECF EC F F F F F F F F F F F F Ak n k F EB F F ? F EB F F n F ECF ECF EDF ECF ECF EC ? P F F F F F F F F F F F F An lim n ? ? P F EDF ECF ECF ECF ECF EC F F F F F F F F F F F F Ak n k Les démonstrations de ces formules ne sont pas exigibles On pourra donner comme exemple d ? événement négligeable la réalisation d ? une suite in ?nie de pile lors d ? un jeu de pile ou face Si A véri ?e P A alors A PA est un espace probabilisé C Objectifs du programme Dé ?nition d ? une variable aléatoire Fonction de répartion