1 Théorie des probabilités Introduction on peut classer les expériences en deux

1 Théorie des probabilités Introduction on peut classer les expériences en deux grands groupes ; celles dont l’issue est prévue avec certitude dépendant de lois physiques établies et celles dont l’issue dépend du hasard, pour lesquelles on ne peut pas faire de prévisions rigoureuses, ce sont les expériences aléatoires. Notion intuitive de probabilité historiquement, la notion de probabilité s’est dégagée à partir d’exemples simples empruntés généralement aux jeux de hasard. Exemple jetons en l’air une pièce de monnaie, ce jeu constitue une épreuve c'est-à-dire une expérience dont le résultat est incertain. Il y a deux éventualités possibles ; pile ou face. Si on considère l’éventualité « obtenir face », parmi les deux résultats également probables, il y en a qu’un qui est favorable à « obtention de face » La probabilité d’avoir face est égale à
. D’une façon plus générale ; s’il existe () éventualités s’excluant mutuellement et toutes également probable et si parmi celles-ci il y en a () favorables à un événement A, alors la probabilité est déterminée par P(A) =  éé é      éé é   = Exemples 1. On jette un dé, P(obtenir un nombre impaire)= . 2. dans une urne, il y a 30 boules rouges, 20 boules noires, 10 boules vertes indiscernables au toucher et disposée au hasard. On tire une boule. P(tirer une boule verte) =
! ! P(tirer une noire)= ! ! P(tirer une rouge) = ! ! Notions d’événements, d’univers Une expérience aléatoire (épreuve) peut présenter un certain nombre de résultats fini ou infini. Chacun de ces résultats est un événement élémentaire Ei.. 2 L’ensemble de ces événements élémentaires constitue l’univers Ω; c’est l’ensemble de tous les résultats possibles. Exemple jet de dé ; Ω={ E1, E2, …, En} Un événement non élémentaire est un ensemble de plusieurs résultats (une partie de Ω) Exemple pour la même expérience aléatoire de jet de dé, on considère les événements : « obtention de chiffre pair »; A={2,4,6} « obtention de chiffre impair »; B={1,3,5} A et B sont des événements non élémentaires. Evénements incompatibles Deux événements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont dits incompatibles. A et B incompatibles (s’excluent mutuellement) ⇔ A ∩$= ∅ Logique des événements  Evénement certain (contient tous les résultats de l’expérience) ; E= Ω  Evénement impossible (n’est jamais réalisé) ; E= ∅  Union d’événements A∪B (A est réalisé ou B est réalisé)  Intersection d’événements A∩B (A est réalisé et B est réalisé)  Complémentarité A '=CA complémentaire de A ( A n’est pas réalisé) A ' ∪ A= Ω, A ' ∩ A= ∅ A et A ' sont incompatibles.  Evénements exhaustifs : un ensemble d’événements Ai (i=1,…,n) vérifiant les propriétés suivantes Ai≠∅, Ai ∩ Aj=∅, ⋃ * +
i= Ω forme un ensemble exhaustif (complet). Des événements exhaustifs forment une partition de Ω. A1 A2 … An Ω 3 Définition axiomatique Soient deux événements A et B dans Ω; Axiome 1 : 0≤ P(A) ≤ 1 Axiome 2 : P(Ω)=1 Axiome 3 : si A ∩ B = ∅ alors P(A ∪ B)= P(A) + P(B) Conséquences  P(∅) = 0  P(*̅)=1-P(A) Théorème des probabilités totales : il exprime la probabilité de réaliser A ou B ; P(A ∪$) =P(A) + P(B)- P(A ∩ B) Si A et B sont incompatibles alors P(A ∪$) =P(A) + P(B). Application On considère quatre événements exhaustifs A, B, C, D sur Ω ; Ω = A ∪B ∪C ∪D Lesquelles des données suivantes respectent la définition axiomatique de probabilité ? 1) P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(C)=1/4, p(D)=1/5 2) P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=-1/4, P(D)=1/4 3) P(A)=1/4, P(B)=1/4, p(C)=0, P(D)=1/2 4) P(A)=1/2, P(B)=1/8, P(C)=1/8, P(D)=1/4 Réponses 1) P(Ω)>1 2) P(C) <0 3) P(C)=0 4) données correctes ; P(Ω)= P(A)+P(B)+P(C)+ P(D)=1 4 Exemple une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12, on tire au hasard une, calculer la probabilité de tirer un nombre pair ou un multiple de trois ? Méthode Exprimer les événements considérés Remarquer le « ou » entre ces événements Exposer le théorème des probabilités totales à utiliser Poser la question de la compatibilité A : « tirer un nombre pair » ={2,4,6,8,10,12} B : « tirer un multiple de trois » = {3,6,9,12} P(A∪$) = P(A) + P(B)- P(A ∩$) A ∩$ ={6,12} P(A∪$) =
 + 2
 - 
 = 3
=  Probabilités conditionnelles Considérons deux événements A et B, au cours d’une expérience aléatoire et telle que la réalisation de B influence celle de A. Alors la probabilité de réaliser A sachant que B a été réalisé s’appelle Probabilité conditionnelle de A sachant B et s’écrit p(A/B). Exemple introductif La composition d’un amphithéâtre de 200 étudiants dans une université est la suivante : 130 étudiants sont des filles 100 étudiants habitent chez leurs familles Parmi ces 100 étudiants qui habitent chez leurs familles, 80 sont des filles. On choisit un étudiant au hasard et on s’intéresse aux trois événements A : l’étudiant habite chez sa famille B : l’étudiant est une fille. A∩B est une fille qui habite chez sa famille. P(A) =
!! !! , P(B) =
! !! , 5 P(A ∩B) = 3! !! (nombre de filles qui habitent chez leurs parents/nombre d’étudiants) Si l’on sait au préalable que l’étudiant est une fille, alors l’ensemble de référence est constitué de 130 filles étudiantes et la probabilité qu’elle habite chez ses parents sachant que c’est une fille devient 3!
! (nombre de filles qui habitent chez leurs parents/nombre de filles étudiants)=P(A/B) En effet : cette probabilité est conditionnée par l’information supplémentaire, l’événement B « l’étudiant est une fille » est réalisé. On remarque que 3!
!= 3!/!!
!/!! ce résultat est général 6(*/$) = 6(* ∩$) 6($) La probabilité que la fille n’habite pas chez ses parents sur l’ensemble des filles étudiantes est 7 !
! d’où P(*̅/B)=1-P(A/B) Exemple 2 soit une urne contenant 10 boules blanches, 20 rouges et 30 noires. On tire deux boules sans remise dans l’urne, quelle est la probabilité que la première boule soit rouge et la seconde blanche ? Réponse P(R ∩B) = P(9) ∗P(B/R) = ! ! ∗
! 7 ;=
!
< < P(B/R)=
! 7 ; (il reste 59 boules dans l’urne dont 10 sont blanches) Théorème des probabilités composées P(A∩B)= P(B∩A)=P(A/B)*P(B)=P(B/A)*P(A) Evénements indépendants Il peut arriver que l’information apportée par la réalisation ou la non réalisation de B ne modifie pas la probabilité de réalisation de A soit P(A) ; 6(*/$) = 6(*) 6 On dit que A et B sont indépendants et on a 6(* ∩$) = 6(*) ∗6($) Ne pas confondre indépendance et incompatibilité ; si P(A∩B)≠ 0 les deux événements sont compatibles, ils pourront être dépendants ou indépendants Exemple les événements A et B décrivant la composition de l’amphithéâtre sont compatibles et dépendants Exemple dans une population, la probabilité de naissance d’un garçon est 0.52. Dans cette population, 3% des filles et 2% de garçons présentent un ictère de nourrisson. a) Quelle est la probabilité qu’un nouveau né présente un ictère ? b) quelle est la probabilité qu’un nouveau né présentant un ictère soit une fille? P(G)=0.52, P(F)=1-P(G)=0.48, P(I/F)=0.03, P(I/G)=0.02. On demande de calculer P(I). L’événement I est réalisé de deux façons par E1 : le nouveau né est une fille et elle présente un ictère ; E1=I∩F E2 : le nouveau né est un garçon et il présente un ictère ; E2=I∩G Opération « ou » théorème des probabilités complètes. Opération « et » théorème de probabilité composée. P(I)=P(E1)+P(E2) P(E1)=P(I∩F)=P(F)P(I/F) P(E2)=P(I∩G)=P(G)P(I/G) Alors P(I)=0.48*0.03+0.52*0.02=0.0248 b) on doit calculer P(F/I), on connait P(I/F), pour calculer ces probabilités conditionnelles on doit revenir au probabilités de l’intersection. 6(= ∩>) = 6(>)6(=/>) = 6(=)6(>/=) D’où P(> = ⁄ ) = P(F)P(I/F) 6(=) = 0.48 ∗0.03 0.0248 7 6(>/=) = 0.581 Théorème de Bayes ou théorème de la probabilité des causes. Si l’événement E est réalisé, cette réalisation pouvant être due à plusieurs causes C1, C2, …on dit que l’on inverse le conditionnement et l’on pose la question suivante : « sachant que E est réalisé, calculer la probabilité que ce soit à cause de C1 (ou C2…). Les différentes causes doivent former un système exhaustif. Cas de deux causes soient deux causes possibles C1 et C2 telles que C2= C I1 On applique le théorème de Bayes. On a 6(J
∩ K) = 6(J
)6(K/J
) = 6(K )6(J
/K) donc P(J1 K ⁄ ) = P(C1)p(E/C1) 6(K) . Comme 6(K) = 6(J1)N(K/J1) + 6(J2)N(K/J2) On trouve P(QR S ⁄ ) = P(TR)U(V/TR) P(TR)U(V/TR) + P(TW)U(V/TW) Généralisations à plusieurs causes P(TX S ⁄ ) = P(TX)U(V/TX) P(TR)U(S/QR) + ⋯+ P(TZ)U(V/TZ) Exemple trois machines A, B, C produisent respectivement 40%, 35% et 25% du nombre total des comprimés fabriqués par un laboratoire pharmaceutique, chacune de ces machines produit respectivement 5%, 6% et 3%de comprimés défectueux. a) on prend un comprimé au hasard, quelle est la probabilité pour qu’il soit défectueux ? b) on prend un comprimé uploads/Histoire/ cours-proba-1annee-snv-18-19.pdf

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• Publié le Nov 15, 2021
• Catégorie History / Histoire
• Langue French
• Taille du fichier 0.2088MB