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Corrige devoir libre serie 1

Universit ?e Ibn Zohr Facult ?e des Sciences d ? Agadir D ?epartement de Math ?ematiques An ?ee universitaire - Corig ?e du devoir libre de la s ?erie Pr M Saadoune Comple ?ments du cours sur le produit ?ni d ? espaces topologiques Soit Ei Ti une famille ?nie d ? espaces topologiques E ? i p i le produit cart ?esien des Ei T la topologie produit sur E topologie initiale associ ?ee aux projections pri E ? Ei i p c ? est- a-dire la topologie la moins ?ne rendant les pri continues ? Un ouvert ?el ?ementaire de E est un ensemble de la forme O ? O ? ? Op ou Oi ?? Ti ? L ? ensemble des ouverts ?el ?ementaires constitue une base de la topologie produit ? Soit x x x xp ?? E Les ensembles de la forme V ? V ? ? Vp ou Vi est un voisinage de xi dans Ei constituent un s f d v de x dans E ? Si les Ei sont tous s ?epar ?es l ? espace produit E l ? est aussi ? Si les Ei sont tous m ?etrisables l ? espace produit E l ? est aussi ? Soit X un espace topologique Une application f X ? E est continue si et seulemen t si chaque applicatio n projection ? pri f est continue de X dans Ei f x f x f x fp x x ?? E ? Une suite xn x n x n xnp dans E converge vers un point x x x xp ?? E si et seulement si chaque suite xin converge dans Ei vers xi ? Th ?eor eme de Tychono ? L ? espace topologique produit E T est compact si et seulement si chaque Ei Ti est compact corrige ? du devoir libre Corrig ?e de l ? exercice Soient E un espace m ?etrique compact et f E ? E une application expansive i e d x y ? d f x f y pour tout x y ?? E On se propose de montrer que f est forc ?ement une isom ?etrie Soient x y ?? E xn f n x yn f n y pour chaque n ?? N f n f f f n-fois a L ? e space E ? E ?etant m ?et rique comp act d ? apres le th ?eoreme de Tychono ? xn yn admet un e sous-suite xnk ynk convergente ou d ? une fa con ?equivalente les suites xnk et ynk sont convergentes donc de Cauchy C b Soit D ? apr es a on peut trouver un entier k tel que d xnk xn ? ? et d ynk yn ? ? pour tout ? k Posons p nl ?? nk avec ? k f ?etant expansive on a d x xp ? d f nk x f nk xp d f nk x f n ? x