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Corrige epreuve maths 2 1 Epreuve écrite MATHEMATIQUES Crédit Durée Heures PARTIE A ANALYSE points Exercice pts On considère la fonction numérique à deux variables dé ?nie par - Calculer les dérivées partielles d ? ordre de cette fonction On a Déterminer

Epreuve écrite MATHEMATIQUES Crédit Durée Heures PARTIE A ANALYSE points Exercice pts On considère la fonction numérique à deux variables dé ?nie par - Calculer les dérivées partielles d ? ordre de cette fonction On a Déterminer les points critiques de la fonction Soit à résoudre le système Tenant compte de la contrainte entraine L ? équation a pour solution Les points critiques de sont Déterminer la nature de ces points critiques On a Cependant au point nous avons D ? o? le déterminant de la matrice Hessienne au point A est est un minimum local Au point nous avons d ? o? le point D ? o? le déterminant de la matrice Hessienne au point B est d ? o? le point est un point col ou point selle Exercice pts L ? objectif de cette question est de résoudre à l ? aide de la transformée de Laplace l ? équation di ?érentielle C E avec a A partir de la dé ?nition calculer les transformées de Laplace des fonctions et o? a est un scalaire On a ? ? or D ? o? ? - D ? autre part ? ? D ? o? b Ecrire sous forme exponentielle Laplace de On a et en déduire sa transformée de Par suite En prenant d ? une part et d ? autre part on obtient c En calculant la transformation de Laplace de et en notant la transformée de Laplace de montrer que ? On a d ? après la linéarité d En déduire la solution de On a D ? o? PARTIE B ALGEBRE points I Soit l ? espace vectoriel muni de sa base canonique l ? endomorphisme de dé ?ni par La matrice A de dans la base canonique est L ? image du vecteur par est ? On a dont l ? endomorphisme n ? est pas injectif et par conséquent n ? est pas bijectif C On admet que tout vecteur a pour image par le vecteur avec Déterminons le noyau Kerf et l ? image Imf de Noyau de Par dé ?nition ? ? ? ? ? d ? o? est une droite vectorielle dirigée par le vecteur Image de Par dé ?nition ? ? vecteurs ? ? d ? o? ? ? est un plan vectoriel dirigé par les II On donne les vecteurs Montrons que est une base de On a det ? ? ? - ?? d ? o? B ? est une base de On pose a La matrice P est inversible car son déterminant est non nul On a b Déterminons les coordonnées du vecteur dans la base On a D ? o? c Calculons la matrice On a C PARTIE C PROBABILITES ET STATISTIQUES points I STATISTIQUES Calculons a La moyenne de chaque série marginale On a La puissance moyenne X en chevaux est On a La cylindrée moyenne est b Calculons la variance de chaque série marginale On a D ? autre part c Calculons