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Decision et prevision stats2

Décision et Prévision Statistiques Thierry Verdel CChapitre La loi normale L'objectif du chapitre est de présenter la loi normale qui est le modèle probabiliste le plus utilisé pour décrire de très nombreux phénomènes observés dans la pratique Une grande attention devra être accordée aux concepts essentiels en statistiques d'espérance mathématique et de variance et aux opérations qui leurs sont attachées CChapitre La loi normale Variables aléatoires continues Loi de probabilité Rappelons que si à un ensemble de possibilités W nous attachons un nombre X prenant les valeurs x xi xn lorsque se produit l'un des événements e ei en on dit que X est une variable aléatoire Cette variable est dé ?nie lorsqu'on connait les probabilités pHx L pHxiL pHxnL correspondant aux valeurs possibles de X Ces probabilités sont obligatoirement telles que pHx L pHxiL pHxnL et la correspondance xi pHxiL est appelée loi de probabilité ou distribution de probabilité de la variable aléatoire X Si les valeurs possibles de X sont réparties de façon continue sur un intervalle ?ni ou in ?ni X est une variable aléatoire continue Une telle variable est dé ?nie si l'on connait la probabilité pour que X prenne une valeur dans tout intervalle x x h On se donne pour cela la fonction de répartition de X PHxL Prob X x qui permet de calculer pour tout intervalle Prob x ? X x h PHx hL - PHxL Un cas particulier important auquel nous nous attacherons exclusivement dans ce qui suit est celui o? la fonction de répartition est continue et peut être mise sous la forme PHxL x - pHuL ? u o? pHxL s'appelle la densité de probabilité de X appellation qui résulte du fait que pHxL limD x? ? P? ? ? r? o? ? ? b? ? ? ? x? ? ?? ? D? X? ? x? ? ? ? ? x? ? ? ? ? D? ? ? x? ? ? ? La densité de probabilité pHxL ou la fonction de répartition PHxL dé ?nissent la loi de probabilité d'une variable aléatoire continue X Elles donnent lieu aux représentations graphiques suivantes C Chapitre La loi normale Il est important de bien noter que conformément aux axiomes qui dé ?nissent les probabilités - pHxL ? x et ? PHxL ? La loi uniforme La variable aléatoire U est distribuée uniformément sur l'intervalle a bD si sa densité de probabilité est constante sur cet intervalle pHuL ? b? ? -? ? ? a? ? et si sa fonction de répartition a par conséquent l'équation suivante PHuL ? bu? ? --? ? ? aa? ? La loi exponentielle Nous avons montré dans le chapitre précédent que si la probabilité d'apparition d'un événement pendant un intervalle de temps D t était égale à l D t la probabilité pour qu'il se produise k fois pendant un intervalle de temps t était donnée par la loi de Poisson de paramètre l t pk HtL ? H? ? l? k? ? t ? L? k?