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Devoir n03 Mécanique des milieux continus Décembre Devoir N Une attention particulière sera accordée à la rédaction Exercice Glissement simple ?gure En admettant la linéarisation on exprime Tenseur des petites déformations ou tenseur de déformation in ?ni

Mécanique des milieux continus Décembre Devoir N Une attention particulière sera accordée à la rédaction Exercice Glissement simple ?gure En admettant la linéarisation on exprime Tenseur des petites déformations ou tenseur de déformation in ?nitésimale ? ? gr ?ad U ? gr ?ad U ? t Tenseur de la rotation rigide ou tenseur de la rotation in ?nitésimale ? ? ? ? gr ?ad U ? ?? gr ?ad ? U t ? ? Considérons une plaque rectangulaire A B C D d ? un matériau solide Cette plaque est soumise à une contrainte telle que pour tout point M de la plaque les coordonnées à l ? instant initial X X X et les coordonnées à l ? instant actuel x x x soient reliées par la transformation dé ?nie par x X x X X x X Déterminer le gradient du vecteur déplacement U ? X t Déterminer le tenseur de déformation in ?nitésimale ? Déterminer le tenseur de la rotation in ?nitésimale rigide ? ? Donner les transformées des vecteurs ? A B et ? A C Calculer les allongemeDn ts relatifs et les glissements des vecteurs ? A B et ? A C A XCXAA C B B B X Avant déformation Après déformation Fig Exercice Champ des déformations Soit la transformation linéaire suivante dans le repère orthonormé R O e ? ? e e ? C x ?? t X ?? ?? t X x ?? t X ?? t X x t X o? t désigne le temps une constante donnée et o? X X et X désignent les coordonnées de la particule M à l'instant t On pose t - Déterminer le tenseur F ? t de la transformation et le tenseur de Cauchy - Déterminer le tenseur de Green-Lagrange - Déterminer les directions principales de déformation - Soit n ? cos e ? sin e ? o? est une constante donnée et soit la dilatation linéique nn dans la direction n ? donner l'expression de nn Exercice Champ des déformations Soit le champ de déplacement exprimé par u ? x y z xyz a ? e x a y e ? a x yz ? e Trouver le tenseur des petites déformations et le tenseur de la rotation rigide Exercice Mesure des déformations extensométrie En un point P d'une plaque soumise à un état de déformation plane on colle une rosette à trois jauges qui mesurent les dilatations dans trois directions PA PB et PC contenue dans le plan des déformations Fig Les mesures obtenues sont respectivement A ?def B ?def C ?def Déterminer le tenseur linéarisé des petites déformations relativement au repère orthonormé direct P ? e ? e Déterminer les déformations principales et les directions principales de déformations Exercice Déformation Soit une plaque rectangulaire mince K Fig de cotés a ? b ? h avec h très petit devant a et b On suppose qu ? il n ? y a pas de déformation selon l ? épaisseur h Cette