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Mouvement brownien Mouvement Brownien Le mouvement Brownien Promenade al ?eatoire Propri ?et ?es Int ?egrale de Wiener Exemples CRobert Brown observe le mouvement irr ?egulier de particules de pollen en suspension dans l ? eau Delsaux explique les changem

Mouvement Brownien Le mouvement Brownien Promenade al ?eatoire Propri ?et ?es Int ?egrale de Wiener Exemples CRobert Brown observe le mouvement irr ?egulier de particules de pollen en suspension dans l ? eau Delsaux explique les changements incessants de direction de trajectoire par les chocs entre les particules de pollen et les mol ?ecules d ? eau Bachelier met en ?evidence le caractere ??markovien ? du mouvement Brownien en vue d ? ?etudier les cours de la Bourse Einstein d ?etermine la densit ?e de transition du mouvement Brownien par l ? interm ?ediaire de l ? ?equation de la chaleur et relie ainsi le mouvement Brownien et les ?equations aux d ?eriv ?ees partielles de type parabolique Smoluchowski d ?ecrit le mouvement Brownien comme une limite de promenades al ?eatoires N Wiener r ?ealise la premiere ?etude math ?ematique rigoureuse et donne une d ?emonstration de l ? existence du Brownien CP L ?evy s ? int ?eresse aux propri ?et ?es ?nes des trajectoires du Brownien Depuis travaux d ? Ito Watanabe Meyer Yor LeGall Salminen Durrett Chung Williams Knight Pitman C Le mouvement Brownien COn se donne un espace F P et un processus Bt t ? sur cet espace D ?e ?nition Le processus Bt t ? est un mouvement Brownien standard si a P B le mouvement Brownien est issu de l ? origine b ??s ? t Bt ?? Bs est une variable r ?eelle de loi gaussienne centr ?ee de variance t ?? s c ??n ??ti ? t ? t ? tn les variables Btn ?? Btn ?? Bt ?? Bt Bt sont ind ?ependantes c ? Pour tout t s la variable Bt s ?? Bt est ind ?ependante de la tribu du pass ?e avant t soit FtB ? Bu u ? t C G ?en ?eralisation Le processus Z d ?e ?ni par Zt a Bt est un Brownien issu de a On dit que X est un MB de drift et de coe ?cient de di ?usion ? si Xt x t ?Bt ou B est un mouvement Brownien La v a Xt est une v a gaussienne d ? esp ?erance x t et de variance ? t Pour tout t s la v a Xt s ?? Xt est ind ?ependante de FtX ? Xu u ? s C Promenade al ?eatoire COn peut montrer que le mouvement Brownien s ? obtient comme limite de promenades al ?eatoires renormalis ?ees Soit sur un espace de probabilit ?e F P une famille de variables al ?eatoires de Bernoulli ind ?ependantes ?equidistribu ?ees P Xi P Xi ?? i ?? IN ? On associe a cette famille la suite Sn n ? d ?e ?nie par n S Sn Xi i On dit que la suite Sn est une promenade al ?eatoire On a E Sn Var Sn n C Sn S S O d d d d d d dd d dd n Promenade al ?eatoire CRemarquons