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Rappels d x27 algebre lineaire

ANNEXE A RAPPELS D ? ALGÈBRE LINÉAIRE www scholarvox com ENCG Tanger Les mathématiques utilisées en économétrie sont simples Il suf ?t de bien conna? tre certaines règles de calcul matriciel Nous les rappelons dans cette annexe sans commentaire ni démonstration Le lecteur désireux de compléter ses connaissances en la matière peut se reporter utilement à Dixmier ou à Michel On désigne les matrices par des lettres majuscules et les vecteurs par des lettres minuscules A est une matrice à m lignes et n colonnes composée d ? éléments aij m n La matrice A est associée à une application linéaire d ? un espace vectoriel V de dimension n vers un espace vectoriel V de dimension m Soit le vecteur x ?? V n Son image y par l ? application linéaire correspondant à A est un vecteur y ?? V dé ?ni par y Ax m On note A la transposée de A Rangées dans le même ordre les n lignes de A n m sont les n colonnes de A A symétrique ?? A A Pour un vecteur x on note pareillement x son transposé n n Le produit de deux matrices A et B n ? est dé ?ni que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B Le produit matriciel correspond à la composition des applications linéaires associées On a A B C m n n p m p Cwww scholarvox com ENCG Tanger INTRODUCTION À L ? ÉCONOMÉTRIE Propriété AB B A On note In la matrice identité de format n n On a n n A In A Im A m n n n m n m m m n Soit A une matrice carrée régulière Une telle matrice correspond à une n n application linéaire bijective On note A ?? son inverse qui correspond à n n l ? application linéaire réciproque Elle est dé ?nie par AA ?? A ?? A In Propriétés sur l ? inverse d ? une matrice Si A et B sont deux matrices régulières on a A ?? A ?? AB ?? B ?? A ?? Propriétés sur le rang d ? une matrice Le rang de A noté Rg A est égal au nombre de colonnes de A qui sont m n linéairement indépendantes Le rang de A est égal à la dimension de l ? image dans V de l ? application linéaire correspondant à A Rg A ? inf m n m n Rg AB ? inf Rg A Rg B Rg A Rg A Rg AA Rg A A Rg A B ? Rg A Rg B Si B et C sont régulières Rg AB Rg CA Rg A Propriétés sur le déterminant d ? une matrice Soit A le déterminant de la matrice carrée A On a les propriétés suivantes n n A régulière ?? Rg A n ?? A n n A A CRAPPELS D ? ALGÈBRE LINÉAIRE AB A B BA A