Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Exam l3probastat mai12 Universit ?e d ? Orl ?eans ?? Facult ?e des Sciences ?? Licence e ann ?ee - Probabilit ?es et statistiques Examen du mai Dur ?ee heures Il sera tenu compte de la qualit ?e de la r ?edaction Les documents et les calculatrices ne sont

Universit ?e d ? Orl ?eans ?? Facult ?e des Sciences ?? Licence e ann ?ee - Probabilit ?es et statistiques Examen du mai Dur ?ee heures Il sera tenu compte de la qualit ?e de la r ?edaction Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris ?es Les t ?el ?ephones portables doivent etre ?eteints Les points sont donn ?es a titre indicatif Probl eme points Soit X Y un couple de variables al ?eatoires r ?eelles de densit ?e jointe f x y ??Cxy si y x sinon Calculer les marginales f x et f y En d ?eduire la valeur de C Calculer E X E Y et cov X Y Probleme points Si X est une variable al ?eatoire a valeurs dans R on note LX u E e ??uX u sa transform ?ee de Laplace Soit Y une variable al ?eatoire de loi exponentielle de param etre ? Calculer LY u Soit X une variable al ?eatoire a valeurs dans R ind ?ependante de Y On suppose que X admet une densit ?e fX x a Donner la densit ?e du couple X Y b Montrer que P Y X LX ? On se donne maintenant n variables al ?eatoires i i d a densit ?e X Xna valeurs dans R On suppose X Xn Y ind ?ependantes Montrer que P Y X Xn P Y X P Y Xn Soit M max X Xn a Montrer que P M X Xn nP X X Xn b On suppose que X Xn suivent une loi exponentielle de param etre ? i Calculer P X X ii En d ?eduire une expression explicite de P M X Xn Tournez s v p CProbleme points Soient X Xn des variables al ?eatoires i i d de loi exponentielle de parametre ? D ?eterminer la densit ?e de Y eX Comment s ? appelle la loi de Sn X Xn On ne demande pas de faire de calculs Pour quelles valeurs de u ?? R a-t-on E euX ? Calculer sa valeur et en d ?eduire fn u E euSn pour tout n D ?eterminer fn u puis par r ?ecurrence toutes les d ?eriv ?ees de fn En d ?eduire E Snk pour tout k Probleme points On dispose d ? un ?echantillon X Xn de variables al ?eatoires i i d suivant une loi de Bernoulli de parametre ?? a D ?eterminer l ? estimateur de maximum de vraisemblance de b Cet estimateur est-il biais ?e Est-il consistant D ?eterminer un intervalle de con ?ance pour pour un coe ?cient de s ?ecurit ?e ? On rappelle que la fonction de distribution de la loi normale standard v ?eri ?e Un sondage e ?ectu ?e sur un ?echantillon de n personnes r ?evele personnes d ? opinion A et personnes d ? opinion B a Donner un intervalle de con ?ancea pour la proportion d ? opinions A on pourra se contenter d ? une