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Chap 17 Chapitre La dimension ?nie Objectifs ?? Dé ?nir les notions de familles libres familles liées familles génératrices et étudier leurs propriétés ?? Dé ?nir la notion de dimension ?nie et établir le théorème fondamental de la dimension ?nie ?? Dé ?n

Chapitre La dimension ?nie Objectifs ?? Dé ?nir les notions de familles libres familles liées familles génératrices et étudier leurs propriétés ?? Dé ?nir la notion de dimension ?nie et établir le théorème fondamental de la dimension ?nie ?? Dé ?nir les notions de bases de coordonnées et les propriétés ?? Faire le lien entre la dimension ?nie et les applications linéaires notion de rang théorème du rang ?? Étudier la méthode de Gauss pour le calcul du rang d ? une famille de vecteurs Sommaire I Espaces de dimension ?nie Familles génératrices Familles libres familles liées Familles libres et familles liées en dimension ?nie II Propriétés de la dimension ?nie Bases coordonnées Sous- espaces vectoriels Applications linéaires et dimension ?nie III Notion de rang Rang d ? une application linéaire Rang d ? une famille de vecteurs Méthode du pivot de Gauss IV Exercices I Espaces de dimension ?nie Familles génératrices DÉFINITION Soit E un K-e v et soit A une famille de vecteurs d e E on dit que la famille A est une famille génératrice de E lorsque E Vect A Ce qui signi ?e que tout vecteur de E est combinaison linéaire d ? un nombre ?ni de vecteurs de A THÉORÈME premières propriétés Soit A une famille génératrice de E ?? Toute sur-famille de A est génératrice i e si B e st une famille de vecteurs de E telle que A ? B alors B est génératrice ?? Si f ?? L E F alors B f x x ??A est une famille génératrice de Im f ?? Soit f ?? L E F alors f est surjective ssi f A est une famille génératrice de F MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http pagesperso-orange fr Fradin Patrick CEspaces de dimension ?nie Chapitre La dimension ?nie DÉFINITION espace de dimension ?nie Soit E un K-e v on dit que E est de dimension ? nie lorsque E possède une famille génératrice ?nie c ? est à dire lorsqu ? il existe des vecteurs x xn ?? E tels que E Vect x xn Si ce n ? est pas le cas on dit que E est de dimension in ?nie THÉORÈME Soit E un K-e v de dimension ?nie ?? Si f ?? L E F alors Im f est de dimension ?nie En particulier lorsque f est surjective F est de dimension ?nie ?? Si F est de dimension ?nie alors E ? F est de dimension ?nie également Familles libres familles liées DÉFINITION Soit x xn une famille de vecteurs d ? un K-e v E on dit que ?? La famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire de la famille qui donne le vecteur nul est celle pour laquelle tous les coef ?cients sont nuls on dit aussi que les vecteurs sont linéairement indépendants c ? est à dire ? n k xk E ?? ?? k ?? n k k ?? La famille est dite liée lorsqu ? elle n