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Chapitre 4 theoremes limites et estimation

Théorèmes limites et estimation A Théorèmes limites LOI DES GRANDS NOMBRES La loi des grand nombres est un théorème mathématique fondamental des probabilités et statistiques Cette loi exprime le fait que les caractéristiques d ? un échantillon aléatoire se rapprochent des caractéristiques statistiques de la population ensemble d ? individus ou d ? éléments lorsque la taille de l ? échantillon augmente à l ? in ?ni En d ? autres termes cela garantit que lorsque le nombre de tirages e ?ectués selon une loi de probabilité comme les tirages successifs d ? une pièce sur le côté pile ou face tend vers l ? in ?ni la moyenne empirique moyenne calculée à partir des observations converge vers la moyenne réelle d ? une variable aléatoire suivant cette loi Cela sous des hypothèses très faibles Soient X X Xn n variables aléatoires de même loi qu ? une variable aléatoire X Supposons que ces v a ont une espérance notée m et une variance notée ? E X X Xn E X E X E Xn n m V X X Xn V X V X V Xn n ? La moyenne empirique des v a X X Xn est une v a Xn ? X ? X ? ? n Xn On sait que la moyenne empirique a pour espérance m et pour variance ? n Ainsi plus n est grand moins cette v a varie A la limite quand n tend vers l ? in ?ni elle se concentre sur son espérance m C ? est la loi des grands nombres CThéorème Loi des grands nombres Quand n est grand Xn est proche de m avec une forte probabilité Autrement dit ?? ?? ? ? ? lim P n Xn ??m ? ? ? On dit que Xn converge en probabilité vers m Plus la taille de l'échantillon augmente plus la moyenne empirique observée sur l'échantillon est proche de l ? espérance moyenne théorique Exemple On considère un dé truqué telle que P X p et toutes les autres probabilités sont égales P X P X ?? p Si l ? on fait n lancers Xi identiquement et indépendamment distribuées IID et que l ? on observe la moyenne ? ? X n ? X ? X ? ? n Xn n ? i ? Xi n ? n n Xi i ? Alors X n ? E X presque sûrement et E X p ?? p p ?? p p Exemple Sur un sondage de électeurs prétendent voter pour le candidat A d ? une élection Chaque électeur est ??modélisé ? par une variable de Bernoulli de paramètre p o? p est le paramètre inconnu à savoir la proportion de individus qui vont voter A à l ? élection On suppose que les choix des personnes sondées sont indépendants et les Xi sont donc iid D ? après la LGN ? n n i ? X i ? E X Comme X i B p E X