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Devoir non surveille matrices systemes lineaires

Devoir non surveillé Matrices systèmes linéaires Pelletier Sylvain BCPST Lycée Hoche CC BY pour le décembre Exercice Puissance d ? une matrice F EB F F ?? F EC F F Soit A F ED F F On se propose de calculer les puissances de A par trois méthodes di ?érentes Diagonalisation F EB F F F EC F F On pose P F ED F F a Montrer que P est inversible et calculer son inverse b i Calculer D P ?? AP ii Pour n ?? N calculer Dn iii Démontrer que Dn P ?? AnP et en déduire l ? expression de An c i Justi ?er que D est inversible et déterminer D ?? En déduire que A est inversible ii En adaptant les questions précédentes calculer A ??n pour n ?? N Binôme de Newton a On pose B A ?? I Pour n ?? N ? calculer Bn en fonction de B b En utilisant la formule du binôme de Newton calculer l ? expression de An en fonction de n A et I Par polynôme annulateur a Véri ?er que A ?? A I b i Démontrer par récurrence qu ? il existe deux suites an et bn telles que pour tout entier n An anA bnI Donner les relations de récurrence véri ?ées par an et bn ii Véri ?er que an et bn sont deux suites récurrentes linéaires d ? ordre deux iii En déduire les expressions de an et de bn puis celle de An en fonction de n A et I c i Justi ?er que A est inversible et donner son inverse en fonction de A et de I ii En reprenant la question précédente donner l ? expression de A ??n pour n ?? N en fonction de n A et I CCorrection Diagonalisation a On applique classiquement la méthode de Gauss-Jordan F EB F F F EC F F F ED F F F EB F F F EC F F ?? F ED F F F EB F F F EC F F F ED F F ?? F EB F F F EC F F F ED F F ?? F EB F F F EC F F F ED F F F EB F F F EC F F F ED F F F EB F F F EC F F F ED F F F EB F F F EC F F ?? F ED F F ?? F EB F F F EC F F ?? F ED F F ?? F EB F F F EC F F ?? F ED F F ?? F EB F F F EC F F ?? F ED F F ?? ?? F EB F F ?? F EC F F ?? F ED F F ?? ?? l l l ?? l l l ?? l l l l l l l l ?? l l l l ??l l l ??