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Dynamique du Point Matériel- Théorèmes généraux Table des matières Objectifs 3

Dynamique du Point Matériel- Théorèmes généraux Table des matières Objectifs 3 I - Lois de Newton 4 1. Principe d'inertie ........................................................................................................................................... 4 2. Référentiels galiléens ................................................................................................................................... 4 3. Notion de masse, de la quantité de mouvement et de force ................................................................... 4 3.1. Notion de masse ..................................................................................................................................................................... 4 3.2. Notion de la quantité de mouvement .................................................................................................................................... 5 3.3. Notion de force ........................................................................................................................................................................ 5 4. Lois de Newton ............................................................................................................................................. 5 5. Forces fondamentales ................................................................................................................................. 5 5.1. Les forces à distance .............................................................................................................................................................. 6 5.2. Forces de contact .................................................................................................................................................................... 6 II - Théorème du moment cinétique 10 1. Moment d'une force ................................................................................................................................... 10 2. Moment cinétique ....................................................................................................................................... 10 3. Centre d'inertie ........................................................................................................................................... 10 4. Moment d'inertie ......................................................................................................................................... 11 5. Théorème du moment cinétique ............................................................................................................... 12 Bibliographie 14 3 Déterminer les caractéristiques de certaines forces;Appliquer les trois lois de Newton ; Introduire la notion d'énergie et de puissance;Appliquer les théorèmes généraux; Utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour résoudre les problèmes à un degré de liberté ; Introduire le théorème du moment cinétique; S’entraîner à la résolution des équations différentielles du mouvement; Étudier les mouvements à axe centrale; Comprendre et utiliser les lois de conservation; Appliquer les théorèmes généraux. Pré-requis: Coordonnées polaires, coniques; Lecture de courbes et interprétation graphique de solutions; Résolution des équations différentielles du mouvement Objectifs Lois de Newton 4 Principe d'inertie 4 Référentiels galiléens 4 Notion de masse, de la quantité de mouvement et de force 4 Lois de Newton 5 Forces fondamentales 5 La cinématique consiste à décrire le mouvement d'un corps qui se déplace dans l'espace en fonction du temps sans tenir compte des causes qui provoque ce mouvement. Par contre, la dynamique, s'intéresse aux causes du mouvement 1. Principe d'inertie Le principe d'inertie énonce que si un point matériel n'est soumis a aucune force extérieur, il conservera son état naturel. S'il est animé d'un mouvement rectiligne uniforme ou il est au repos, il conservera son mouvement. 2. Référentiels galiléens Si le principe d'inertie est vérifié dans un référentiel, il est dit référentiel galiléen. Parmi ces référentiels galiléens, nous citerons : Le référentiel de Kepler : L'origine de ce référentiel est le centre d'inertie du Soleil et ses trois axes principaux sont orientés vers trois étoiles fixes. Le référentiel de Copernic : L'origine de ce référentiel est le centre d'inertie du système solaire. Le référentiel géocentrique : L'origine de ce référentiel est le centre d'inertie de la terre Et ses trois axes sont orientés vers trois étoiles fixes. 3. Notion de masse, de la quantité de mouvement et de force 3.1. Notion de masse La masse est une grandeur scalaire caractérisant la résistance d'un corps à subir une modification de Lois de Newton I 5 son mouvement. 3.2. Notion de la quantité de mouvement La quantité de mouvement, notée , d'un point matériel est une grandeur vectorielle permettant de caractérisée son mouvement. Elle défini comme étant le produit de sa masse et de son vecteur vitesse. 3.3. Notion de force La force, notée , est une grandeur vectorielle permettant de produire le mouvement d'un point matériel ou sa déformation. Elle traduit une variation de la quantité de mouvement. Le vecteur force s'écrit alors, La dérivée du vecteur de la quantité de mouvement donnée par la relation (2) s'écrit : Dans la mécanique newtonienne, la masse est une grandeur scalaire constante . La relation (4) devient alors, En identifiant la dérivée du vecteur de la vitesse par rapport au temps comme étant le vecteur accélération , relation (3) s'écrit : 4. Lois de Newton La mécanique newtonienne repose sur trois grandes lois : Première loi : Le principe d'inertie. Deuxième loi : Le principe fondamental de la dynamique. Si un point matériel de masse m possède une accélération , il est soumis a une force proportionnelle a son accélération : . Troisième loi : Le principe de l'action et de la réaction. A toute force de d'action lui correspond une force de réaction de même intensité et de sens opposés. 5. Forces fondamentales 6 5. Forces fondamentales Nous citerons quelques forces fondamentales : 5.1. Les forces à distance 5.1.1. Force gravitationnelle La force gravitationnelle s'exerce entre deux masses, c'est une force à distance. Elle est de la forme : Ou G est la constante de gravitation universelle (G=6,67.10 SI), m et m sont deux masses distante 11 1 2 de r. 5.1.2. Force coulombienne La force coulombienne s'exerce entre deux charges ponctuelles, c'est une force à distance. Elle est de la forme : Ou k est une constante (k =9.10 SI), q et q sont deux charges ponctuelles distante de r. -6 1 2 5.1.3. Forces faibles et forces fortes Les forces faibles et forces fortes sont des forces microscopiques. Le première types de force agissent à courte distance, elle s'observe dans les interactions entre la matière et neutrinos. Par contre, le deuxième types de forces sont des force de très courte portée, elle assure la stabilité du noyau. 5.2. Forces de contact Les forces de contact sont des forces macroscopiques qui se manifestent lors du contact de deux corps. Nous citerons : Les forces de frottement solide, Les forces de frottement visqueux, 5.2.1. Forces de frottement solide La force de réaction, notée du support est une force de contact entre un objet posé sur un support solide. Cette force est répartie sur toute la surface de contact support objet. En absence de glissement ou de frottement, la réaction est perpendiculaire au déplacement (figure 1a). – Forces de frottement En présence de frottement, la réaction n'est pas perpendiculaire au déplacement (figure 7-1b). Cette réaction se décompose en une composante normale aux 7 surfaces en contact, et une composante tangentielle appelée force de frottement. Cette force de frottement, est toujours opposée à celui du mouvement de la masse m. Figure 1 – Les forces de frottement solide Les lois du frottement montrent qu'en absence de glissement (absence de frottement) que le rapport de la composante tangentielle à la composante normale ne dépasse pas une certaine valeur appelée coefficient de frottement statique noté Lorsqu'il y a glissement (présence de frottement), un coefficient de frottement dynamique noté d’ apparait comme étant le rapport de de la composante tangentielle et de la composante normale : Notons que le coefficient de frottement dynamique est généralement inférieur au coefficient de frottement statique. 5.2.2. Forces de frottement visqueux Lorsqu'un solide se déplace dans un fluide (gaz ou liquide), il subit de la part du fluide des forces de frottements. Nous distinguons deux types de forces de frottements visqueux : Forces de frottements visqueux à faible vitesse de type : Où est la viscosité du milieu, elle se mesure en Poiseuille et une constante qui dépend de la géométrie du système. Dans le cas particulier d'une sphère de rayon se déplaçant dans un milieu visqueux, la force de viscosité devient : 8 1. 2. Forces de frottements visqueux à grande vitesse : Dans le cas ou un corps se déplace avec une grande vitesse dans un milieux fluide, la force de frottement prend la forme : 5.2.3. Force de rappel Ce type de force, notée , est observée lors de la déformation d'un ressort (compression ou allongement), elle est dite aussi la tension du ressort : Où l est l'allongement du ressort, elle est définie par avec la longueur du ressort a vide et l sa longueur chargée. Exemple Un point matériel de masse m est poussé, sur plan horizontal, avec une force faisant un angle α avec le plan (figure -2). En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse . P.F.D m Déterminer l'accélération de M dans les deux cas suivants. Le plan horizontale ne présente pas des frottement. Le plan horizontale présente des frottement. Figure 2 – Le plan horizontal Corrigés 1. La masse est soumise à trois forces le poids, la réaction et la force (figure -3). Nous appliquons le principe fondamental de la dynamique : 9 Si on choisi la base des coordonnées cartésiennes, il faut projeter cette équation sur cette base et de coordonnées , nous obtenons : A partir de l'équation (19), nous déterminons l'accélération : 2. Le corps m est soumis maintenant à une force de frottement qu'on notera par . Nous aurons : et après projection : Sachant que les composantes et sont reliées par le coefficient de frottement dynamique : Nous obtenons : A partir de la relation (20) nous tirons : et si nous injectons la relation (24) dans (23), il vient : Puis nous substituons () dans (), nous obtenons la relation de accélération demandée : Théorème du moment cinétique 10 Moment d'une force 10 Moment cinétique 10 Centre d'inertie 10 Moment d'inertie 11 Théorème du moment cinétique 12 1. Moment d'une force Le moment d'une force par rapport à un point, noté , est une grandeur physique vectorielle traduisant l'aptitude de cette force à faire tourner un système mécanique autour de ce point. Le moment d'une force par rapport à un point O est un produit vectoriel entre la force et le vecteur position uploads/Industriel/ dynamique.pdf