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Exam session2 Année universitaire - Site ? Luminy X St-Charles ? St-Jérôme ? Cht-Gombert ? Aix-Montperrin ? Aubagne-SATIS Sujet session de ? er semestre - ? ème semestre - X Session Durée de l ? épreuve heures Examen de X L ? L ? L - ? M ? M - ? LP - ? DU

Année universitaire - Site ? Luminy X St-Charles ? St-Jérôme ? Cht-Gombert ? Aix-Montperrin ? Aubagne-SATIS Sujet session de ? er semestre - ? ème semestre - X Session Durée de l ? épreuve heures Examen de X L ? L ? L - ? M ? M - ? LP - ? DU Nom diplôme Portail Descartes Code Apogée du module SPO U TC Libellé du module Analyse Documents autorisés ? OUI - X NON Calculatrices autorisées X OUI - ? NON Exercice Donner la d ?e ?nition formelle d ? une suite convergente vers une limite ?? R A l ? aide de la d ?e ?nition montrer que la suite un n n converge vers Donner la d ?e ?nition de la d ?eriv ?ee d ? une fonction en un point Montrer que la fonction f x x ?? n ? est pas d ?erivable en x Exercice Consid ?erons la suite an d ?e ?nie par a et an an pour tout n ? Montrer par r ?ecurrence que pour tout n ?? N on a ? an ? Supposons que an converge Donner la seule valeur possible de sa limite Montrer que la suite est d ?ecroissante et justi ?er qu ? elle converge Exercice Calculer le ??s limites suivantes en justi ?ant chaque r ?eponse n ?? n lim n ? ? ?? n lim n n n n ? ? ?? x ?? x lim x ? ?? ? x x x ?? lim x ? x ?? Exercice Consid ?erons la fonction g R ? R d ?e ?nie par g x ??xe ?? x Calculer la d ?eriv ?ee de g en tout x La fonction g est-elle d ?erivable en x Calculer la d ?eriv ?ee si elle existe Dresser le tableau des variations de la fonction g Calculer l ? image g en justi ?ant soigneusement la r ?eponse Donner l ? ?equation de la droite tangente au graphe de la fonction g en x Montrer que l ? ?equation g x ?? a une unique solution sur ? CCorrections Correction de l ? exercice Soit un n une suite r ?eelle Cette suite converge vers la limite ??R R si ?? ??N ?? N tel que n ? N ?? un ?? ? Calculons n n ?? n un ?? n ?? n ?? n On a donc un ?? ? n Pour tout posons N E ?? ?? On a donc n ? N ?? n ? ?? un ?? ? ce qui permet d ? a ?rmer la convergence de un n vers Soit f une fonction d ?e ?nie sur Df soit x ?? Df Le taux d ? accroissement de f en x est la fonction x ? x x f x ?? f x x ?? x f est d ?erivable en x si la limite de x quand x ? x existe on a alors f x lim x ?x x