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Exercices nombresreels UNIVERSITE PARIS ?? DENIS DIDEROT UFR DE MATHEMATIQUES PREPARATION CAPES ?? NOMBRES REELS I Préambule L ? histoire des nombres réels remonte à l ? antiquité grecque A cette époque seuls les entiers positifs ont le statut de nombre e

UNIVERSITE PARIS ?? DENIS DIDEROT UFR DE MATHEMATIQUES PREPARATION CAPES ?? NOMBRES REELS I Préambule L ? histoire des nombres réels remonte à l ? antiquité grecque A cette époque seuls les entiers positifs ont le statut de nombre et une théorie des grandeurs permet de gérer le continu Cette théorie élaborée par Eudoxe au Vème siècle avant J C et reprise dans le livre V des Eléments d ? Euclide permet de comparer et additionner des grandeurs de comparer et multiplier des rapports de grandeurs de même nature L ? uni ?cation du domaine numérique sera longue et di ?cile Ce n ? est qu ? à la ?n du XIXème siècle avec l ? arithmétisation de l ? analyse ? que seront élaborées des constructions du corps des réels à partir des entiers et des rationnels Dans les deux paragraphes suivants sont présentées très brièvement deux d ? entre elles celle par les coupures de Dedekind et celle par les suites de Cauchy proposées par Heine et Cantor elle aussi en Pour plus de détails et en particulier les preuves que l ? on obtient bien un corps satisfaisant la propriété de la borne supérieure vous pouvez vous référer à II Construction par les coupures de Dedekind Une coupure est une partition du corps Q des rationnels en deux parties non vides A et B satisfaisant les conditions suivantes Tout élément de A est inférieur à tout élément de B B n ? a pas de plus petit élément L ? ensemble des réels R est alors dé ?ni comme l ? ensemble des coupures On dé ?nit sur cet ensemble une relation d ? ordre en posant A B ? C D ssi A ? C De même on dé ?nit une addition et une multiplication en posant A B C D E F avec E s s ? s ??A et s ? ??C Si A B ? et C D ? A B x C D E F avec E s s ? s ??A s ? s ? ??C s ? ? ?? Q - On étend ensuite la multiplication à des réels de signe quelconque via la règle des signes Exercice Montrer que R ainsi dé ?ni est un ensemble totalement ordonné véri ?ant la propriété de la borne supérieure Exercice Montrer que Q peut être plongé dans R que l ? ordre et les opérations dé ?nis cidessus prolongent bien l ? ordre et les opérations sur les rationnels Exercice Montrer que R contient strictement Q modulo ce plongement CIII Construction par les suites de Cauchy On considère l ? ensemble S des suites de Cauchy de nombres rationnels muni des opérations d ? addition et de multiplication usuelles et on dé ?nit sur cet ensemble la relation d ? équivalence suivante un ?? vn ssi limn ? ? un-vn R est alors dé ?ni comme le quotient de S par cette relation d ? équivalence Exercice Montrer que Q peut être