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Hypothese de riemann Hypothèse de Riemann En mathématiques l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en par le mathématicien allemand Bernhard Riemann Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle

Hypothèse de Riemann En mathématiques l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en par le mathématicien allemand Bernhard Riemann Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition desnombres premiers Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du XXIe siècle elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale Comme pour les six autres problèmes du millénaire l'énoncé exact de la conjecture à démontrer est accompagné d'une description détaillée fournissant de nombreuses informations sur l'historique du problème son importance et l'état des travaux à son sujet beaucoup des remarques informelles de cette page en proviennent Représentation dumodule de la fonction zêta de Riemann Sommaire La fonction zêta de Riemann Historique de la conjecture Tests numériques Essais de démonstration Notes et références Notes Références Voir aussi Bibliographie Ouvrages de vulgarisation Articles connexes Liens externes La fonction zêta de Riemann La fonction zêta de Riemannest dé ?nie pour tous lesnombres complexess de partie réelle strictement supérieure à par Leonhard Euler l ? introduit sans lui donner de nom uniquement pour des valeurs réelles de l ? argument mais aussi pour en liaison entre autres avec sa solution duproblème de B? le Il montre qu'elle est donnée par leproduit eulérien o? le produit in ?ni porte sur tous les nombres premiers p mais ne converge pas forcément en e ?et dans le Théorème de son article Euler donne une démonstration de cette formule pour le cas tout en notant que et il l ? établit en général dans son Théorème C'est ce résultat qui explique l'intérêt de la fonction zêta dans l'étude de la répartition des nombres premiers Euler Cdéduit par exemple du cas dans le Théorème du même article que la série des inverses des nombres premiers est divergente Le résultat reste bien entendu valablelorsque l ? argument est complexe L'hypothèse de Riemann porte sur les zéros de cette fonction en dehors du domaine de convergence qu'on vient de voir ce qui peut sembler n'avoir aucun sens L'explication tient dans la notion de prolongement analytique on peut démontrer qu'il existe une fonction holomorphe unique dé ?nie pour tout complexe di ?érent de o? elle présente un pôle simple et co? ncidant avec zêta pour les valeurs o? cette dernière est dé ?nie on note encore s cette nouvelle fonction L'une des techniques pour construire ce prolongement est la suivante Il est d'abord facile de véri ?er que pours de partie réelle on a or la série de droite appeléefonction êta de Dirichlet converge pour touts de partie réelle strictement positive On prolonge ainsi à tous les s ?? de partie réelle même ceux de la forme ik ? ln avec k entier non nul car on montre qu'en ces points la fonction possède une limite ?nie On montre ensuite pour