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Travaux diriges equations dierentielles ordinaires fiche 3 1

Université Abdou Moumouni de Niamey Faculté des Sciences et Techniques Département de mathématiques et informatique L mathématique B - Travaux dirigés Équations Di érentielles Ordinaires Fiche Exercice Soient f g R ? R deux fonctions de classe C On considère le système B di érentiel x t x t f x t y t y t y t g x t y t a Rappeler pourquoi pour tout x y ?? R il existe T et x y ?? T T ? R un couple unique de fonctions de classe C solutions sur ?? T T de avec x x y y b Montrer que s'il existe t ?? ?? T T en lequel x est nulle alors la fonction x est identiquement nulle sur ?? T T c En utilisant b par exemple prouver l'implication suivante x ?? ?? t ?? ?? T T x t Montrer que la même propriété est aussi vraie pour la solution t ? y t On pose f x y cos x y g x y sin x y a Montrer que pour toute donnée x y le système admet une solution sur R tout entier satisfaisant On la note x t y t On suppose désormais x y et donc d'après c on a pour tout t x t y t On considère l'ensemble ? x y ?? R x y ? x y ? b Montrer que x y ?? ? ?? ?? t ?? ? x t y t ?? ? Indication Remarquer que si en un point t x t y t ? avec x t y t alors x y t et en déduire que la solution ne peut pas sortir de ? en un tel point de son bord Puis examiner de façon analogue les autres parties du bord de ? c Montrer que pour tout x y dans ? les fonctions x y sont monotones sur C ? et convergent lorsque t tend vers l'in ni vers des valeurs qu'on précisera C B Exercice On considère l'équation di érentielle du second ordre x ?? a t x C ?? b t x E dé nie sur un intervalle I de R a et b sont des applications C continues de I dans R Véri er que pour tout t de I et tout ? de R il existe une unique solution maximale f I ? R de l'équation E telle que f t et f t ? Montrer que l'ensemble des solutions de E est un sous espace vectoriel de dimension deux de l'espace des applications dérivables I dans R On suppose que a t ? b t ?? t ?? I a Si f est une solution C maximale de E véri er que f ? En déduire que si f n'est pas identiquement nulle f a au plus un zéro dans I b Soient f et g deux solutions C maximales linéairement indépendantes Véri er que si t t alors f t g t