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Ts devoir surveille 25 9 06 exercice 1

TS Devoir surveillé - Exercice Soit g la fonction dé ?nie sur R ?? ?? par g x x ?? ?? x ?? x Étudier les limites de g aux bornes de son ensemble de dé ?nition Il y en a trois x Calculer g x et montrer que g x est du signe de x Étudier le signe de g x et dresser le tableau de variations de g Montrer que la courbe Cg représentative de g a une asymptote oblique d Déterminer la position de Cg par rapport à d Tracer d et Cg dans le plan rapporté à un repère orthonormé unité cm Prouver que l ? équation g x admet trois solutions réelles dont on donnera des encadrements d ? amplitude ?? Exercice Il s ? agit de questions indépendantes Soigner la rédaction et les justi ?cations a En étudiant la fonction f x x ?? cos x démontrer que l ? équation cos x x admet une solution unique dans R N B On rappelle que la dérivée de cos x est ?? sin x La courbe de f n ? est pas demandée b Déterminer un encadrement de d ? amplitude ?? a Résoudre dans R l ? inéquation x ? x b Démontrer par récurrence que pour tout entier n ? on a n ?? ? n En déduire lim n ? ? n n Soit la fonction f dé ?nie par f x x x a Quel est l ? ensemble de dé ?nition de f ?? ?? b Déterminer lim x x ?? x et véri ?er que lim x x x ?? x ? ? x ? ?? ? Qu ? en déduire pour la représentation graphique de f N B Celle-ci n ? est pas demandée a Démontrer que la suite u dé ?nie par un ?? ?? sin n est bornée b Quelle est la limite de vn ?? n ?? sin n lorsque n tend vers ? c Quelle est la limite de wn ?? n ?? sin n lorsque n tend vers ? a Rappeler les formules a ?? b et cos x et les utiliser pour prouver que cos x ?? ?? sin x cos x cos x F F F F cos x ?? b Soit la fonction f dé ?nie sur R par f x x si x F F x m cos x si x ? Pour quelle valeur de m la fonction f est-elle continue C