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Variables aleatoires et lois de probabilite

A Variables aléatoires discrètes sur un univers ?niConvention d ? écriture Soit ? ?N un univers ?ni probabilisé On appelle variable aléatoire notée X dé ?nie sur toute application de dans R ?? On note X x ? xn n appartient à N l ? ensemble image de par X X xi est la partie de formées de toutes les éventualités ?k ayant pour image xi Il y en a n formant une partition de X x est la partie de formée de toutes les éventualités dont le nombre image est supérieur strictement à x x X y est la partie de formée de toutes les éventualités dont le nombre image est compris entre x et y Loi de probabilité Soit un univers ?ni probabilisé st X une variable aléatoire sur On appelle loi de probabilité de X l ? application qui à chaque valeur image xi fait correspondre la probabilité pi de la partie X xi de On la représente alors sous forme d ? un tableau X xi x x p X xi p p ? xi ? pi ? xn ? pn n On a donc p ? pi i Fonction de répartition On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X l ? application F de ?? dans qui associe à tout réel x la probabilité p X x c ? est à dire F x p X x Elle est croissante continue par morceau et en escalier De plus on a p X x - F x et p x X y F y - F x Valeurs caractéristiques d ? une variable aléatoire à valeurs discrètes Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x ? xn avec les probabilités respectives p ? pn a Espérance n ? On appelle espérance mathématique de X le nombre E X pixi Ce nombre s ? interprète comme la i moyenne m des valeurs xi pondérées par leur probabilité pi Cb Propriétés E k k Soit k une constante alors E X k E X k E kX kE X c Variance et écart-type ? n On appelle variance de X le nombre V X p ixi ?? E X L ? écart-type est ? X V X i d Propriétés V k Soit k une constante alors V X k V X V kX k V X Exemple Contre une mise convenable on lance un dé marqué as roi dame valet dix et neuf L ? as rapporte F Le roi et la dame F Le valet F le et le rien Loi de probabilité X xi pi Fonction de répartition F C E X V X et ? X Loi binomiale Une variable aléatoire X à valeurs entières ? n suit une loi binomiale de paramètres n et p si et seulement si pour tout k appartenant à ? n on a p X k Cnkpkq n ??k On l ? utilise chaque fois qu ? une même expérience a éventualités Elle est notée