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Corrige a19 Corrig ?e du Contro le d ? Alg ebre I SMPC - Session d ? Automne - Exercice pts a P P et P donc est une racine double de P b Puisque est racine double de P celui-ci est divisible par X ?? La division euclidienne donne P X ?? X ?? X Pour trouve

Corrig ?e du Contro le d ? Alg ebre I SMPC - Session d ? Automne - Exercice pts a P P et P donc est une racine double de P b Puisque est racine double de P celui-ci est divisible par X ?? La division euclidienne donne P X ?? X ?? X Pour trouver les deux autres racines qui sont conjugu ?ees il su ?t de r ?esoudre l ? ?equation X ?? X ce qui donne comme racines i et ?? i c P ?? Q X ?? X On passe au module dans l ? ?equation ce qui donne z z d ? ou z On en d ?eduit que z L ? ?equation devient donc z z ou encore z Ainsi les solutions sont z les racines i emes de l ? unit ?e ?? j j ??j ?? j ou j e i ? En e ?et il est clair que et j la racine cubique de l ? unit ?e sont des racines de X ?? Il su ?t de remarquer la parit ?e du degr ?e de ce polyno me et le fait qu ? il est a coe ?cients r ?eels Donc si ? est racine ? et ?? ? le sont aussi Ainsi j j sont les six racines recherch ?ees Dans C P X ?? X X ?? j X ?? j X j X j Dans R P X ?? X X cos ? X X ?? cos ? X X ?? X X X X ?? X Exercice pts X a b c G X X ?? e X X ?? X ?? e est la partie enti ere de G Les coe ?cients sont donn ?es par e a b c a X X ?? X X X ?? X X ?? X X X ?? X ?? X ?? b F X X X X X X Exercice pts A B C et D ?? ? ?? ?? ? AB DC ABCD est un parall ?elogramme ?? ? ?? ?? ? A ABCD det AB AC Eq param ?etrique de AB x ? y ? ? ?? R Eq cart ?esienne de AB x ?? y ?? Le projet ?e orthogonal H de O sur AB v ?eri ?e H ?? AB et ?? ?? ? OH ? ??n ou ? ??n est un vecteur normale a AB Pour ? ??n ?? on a H ?? ?? AB Donc ?? et H ?? ?? Les coordonn ?ees polaires de H sont donn ?ees par rH OH et H ? C ?? dist O AB OH ?? OH Equation polaire de AB r cos ?? H cos ?? ? Exercice pts La sph ere ? a pour ?equation x ?? y z ?? Donc et R Soit M x y z un point de l ? espace E M appartient au plan tangent a ? au point ?? ?? ? ?? ?? ? M ssi M