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continuite corrige Planche no Continuité corrigé Exercice no Soit x y ?? R et z ?? A x ?? z x ?? y y ?? z ou encore y ?? z x ?? z ?? x ?? y Comme d x A est un minorant de x ?? z z ?? A on en déduit que y ?? z d x A

Planche no Continuité corrigé Exercice no Soit x y ?? R et z ?? A x ?? z x ?? y y ?? z ou encore y ?? z x ?? z ?? x ?? y Comme d x A est un minorant de x ?? z z ?? A on en déduit que y ?? z d x A ?? x ?? y Ainsi ??z ?? A y ?? z d x A ?? x ?? y et donc d x A ?? x ?? y est un minorant de y ?? z z ?? A Puisque d y A est le plus grand de ces minorants on en déduit que d x A ?? x ?? y d y A On a montré que ?? x y ?? R d x A ?? d y A y ?? x En appliquant ce résultat à y et x on a aussi montré que ?? x y ?? R d y A ?? d x A y ?? x Finalement ?? x y ?? R f y ?? f x y ?? x Ainsi f est donc -Lipschitzienne et en particulier continue sur R Exercice no Pour x ?? a b posons g x f x ?? x La fonction g est continue sur a b puisque f l ? est De plus g a f a ?? a et g b f b ?? b D ? après le théorème des valeurs intermédiaires g s ? annule au moins une fois sur a b ou encore l ? équation f x x admet au moins une solution dans a b Exercice no Puisque f x tend vers ? ?? il existe A tel que pour x A f x ? Ainsi f A A et f x x La fonction g x ? f x ?? x est donc continue sur A et change de signe sur A D ? après le théorème des valeurs intermédiaires l ? équation g x admet une solution dans A et donc dans ? ou encore l ? équation f x x admet une solution dans ? Exercice no Puisque f est croissante sur a b f admet en tout réel x de a b une limite à droite et une limite à gauche véri ?ant ?? ? f x ?? f x f x ? De même f admet une limite à droite en a et une limite à gauche en b véri ?ant f a f a ? et ?? ? f b ?? f b Soit E x ?? a b f x x E est une partie non vide de R car a est dans E et majorée par b Donc E admet une borne supérieure c véri ?ant a c b Montrons que f c c Si c b alors ??n ?? N ? ??xn ?? E b ?? n xn tout entier naturel non nul n on a b Puisque f est à valeurs dans a b