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Banque épreuve orale de mathématiques session CCINP ? lière MP et ? lière MPI Mise à jour EXERCICE analyse Énoncé exercice On pose f x x x Décomposer f x en éléments simples En déduire que f est développable en série entière sur un intervalle du type ??r r o? r Préciser ce développement en série entière et déterminer en le justi ? ant le domaine de validité D de ce développement en série entière a Soit ? anxn une série entière de rayon R On pose pour tout x ?? ??R R g x ? ? anxn n Exprimer pour tout entier p en le prouvant ap en fonction de g p b En déduire le développement limité de f à l ? ordre au voisinage de Corrigé exercice En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples on trouve f x x x D ? après le cours x ?? ? x et x ?? ? x sont développables en série entière à l ? origine De plus on a ??x ?? ?? x ? ? ?? nxn n Et On ?? x ?? ?? en déduit que f e stxd év elon ? p ? p a ??bl e nen snéxrine ??e nt ièorbeteennutapnatr dérivation du développement que somme de deux fonctions précédent développables en série entière Et ?? x ?? ?? f x ? ? ?? nxn ? ? ?? n n xn n n ? ? C ? est-à-dire ?? x ?? ?? f x n ?? nxn n Notons D le domaine de validité du développement en série entière de f D ? après ce qui précéde ?? ? D ? Notons R le rayon de convergence de la série entière n ?? nxn D ? après ce qui précéde R Posons pour tout entier naturel n an n ?? n ? Pour x et x ?? lim n ? ? ? anxn ? ? donc n ?? nxn diverge grossièrement Donc R ?? D et ?? ?? D On en déduit que D ?? a Soit ? anxn une série entière de rayon R ? ? On pose pour tout x ?? ??R R g x anxn n D ? après le cours g est de classe C ? sur ??R R De plus ?? x ?? ??R R g ?? x ? ? nanxn ?? ? ? n an xn n n g ?? ?? x ? ? n n an xn ?? ? ? n n an xn n n CC BY-NC-SA FR Page CBanque épreuve orale de mathématiques session CCINP ? lière MP et ? lière MPI Mise à jour et par récurrence on a ?? p ?? N ?? x ?? ??R R g p x ? ? n n n ? ? ? n p an pxn ? ? n n n p an pxn Ainsi pour tout p ?? N g p p ap C ? est-à-dire pour tout p ?? N ap g p p