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Chap 4 limites et continuites

Analyse mathématique Assoc Prof DI Dr Tech NKIEDIEL Alain AKWIR PhD in Information and Communication Engineering Post-Doctoral Researcher in applied Mathematics CContenu du cours Fonctions d ? une variable réelle les bases Dérivées Suites numériques Limites et continuité Fonctions puissance logarithme et exponentielle Étude locale et globale des fonctions d ? une variable réelle CLimites et continuité Vous vendez le même produit qu ? un concurrent situé dans la même rue mais votre prix est inférieur Que devient votre chi ?re d ? a ?aires si votre prix se rapproche de plus en plus de celui du concurrent La notion mathématique de limite permet de formaliser cette question du comportement d ? une fonction quand la variable tend vers une valeur donnée Si votre revenu augmente votre impôt sera plus élevé mais cette augmentation de l ? impôt sera-t-elle régulière ou bien y aura-t-il de brusques sauts Une fonction qui varie sans faire de saut est appelée fonction continue On peut tracer son graphe sans lever le crayon Les fonctions continues ont des propriétés mathématiques remarquables que nous allons étudier ici CLimites et continuité Limite en un point Limite en Fonction continue en un point Continuité à gauche continuité à droite Fonction continue sur un intervalle LES GRANDS AUTEURS Augustin Louis Cauchy - CLimite en un point Limite ?nie en un point Considérons un intervalle ouvert de et un point avec On suppose que est dé ?nie sur sauf éventuellement en Dé ?nitions On dit que a pour limite le nombre réel quand x tend vers si et seulement si devient aussi proche que l ? on veut de pour tout x su ?samment proche de avec ? On note alors Formulation mathématique On a si et seulement si ?? et Ex et CLimite en un point Limite ?nie en un point Propositions Opérations sur les limites Si et alors ? si ? CLimite en un point Limite ?nie en un point Propositions Unicité de la limite Si une fonction a une limite quand tend vers alors cette limite est unique Limite d ? une fonction composée Considérons deux fonctions et de dans et deux réels et On suppose que la fonction est dé ?nie au moins sur un intervalle ouvert contenant sauf peut-être en et sur un intervalle ouvert contenant sauf peut-être en Si a pour limite en et que a pour limite en alors la fonction composée a pour limite en CLimite en un point Limite in ?nie en un point Dé ?nition Limite en un point On dit que a pour limite quand tend vers si et seulement si devient aussi grande que l ? on veut pour tout su ?samment proche de avec ? Formulation mathématique On a si et seulement si ?? et c ? est-à-dire pour tout A même très grand si on se rapproche su ?samment de c -à-d pour petit on a CLimite en un point Limite in ?nie en un point Dé ?nition Branche in ?nie On dit que le graphe