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Corrige devoir 3 ?Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci - Corrigé du DS n du samedi novembre Durée heures de h à h Les calculatrices sont interdites Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées Exercice Questions en vrac Les questions

?Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci - Corrigé du DS n du samedi novembre Durée heures de h à h Les calculatrices sont interdites Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées Exercice Questions en vrac Les questions sont indépendantes On trouve arcsin sin ? ?? ? arctan tan ? ? arccos cos ? ? Donner la dérivée de la fonction f dé ?nie par f x th sin x ne pas chercher à simpli ?er la dérivée trouvée On dérive une composée de trois fonctions f ?? x ?? th sin x ? cos x ? x Pour x au voisinage de par produit et quotients d ? équivalents on a ?? ?? x ?? x sin x ?? ??x x? x ?? Pour x au voisinage de ? ?? x est au voisinage de On a ?? x x exp x ln ?? x Comme x ln ?? x ?? x? ?? x ?? on en déduit que ?? x x tend vers e ?? Exercice Une équation trigonométrique Le but de l ? exercice est de résoudre l ? équation E arctan x arctan x ? On note f la fonction dé ?nie sur R par f x arctan x arctan x Soit a et b ? mod ? tels que a b ? mod ? tan a b sin a b cos a b sin a cos b sin b cos a cos a cos b ?? sin a sin b sin a cos b sin b cos a cos a cos b ?? tan a tan b tan a tan b ?? tan a tan b La fonction arctan est dérivable sur R donc f est dérivable sur R comme somme et composée de fonctions dérivables Pour x ?? R on a f ?? x x x x x x x On en déduit que f ?? sur R donc f est strictement croissante sur R et est de plus continue D ? après le théorème de la bijection elle est bijective de R sur l ? intervalle f R ?? ? ? lim ? arctan ? d ? o? lim ? f ? puis f est impaire Comme ? ?? ?? ? ? et que f est une bijection de R sur ?? ? ? on en déduit que ? admet un unique antédédent par f que l ? on note On a f ? ? f donc nécessairement et donc ?? ? C ?Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci - Pour x ?? ?? on a x x ?? x x x ?? x x x ?? x Ainsi x x ?? x ?? ?? x ?? x ?? ?? x ?? ?? x ?? x ?? x ?? ?? ?? x On a f ? d ? o? tan arctan arctan tan ? ce qui donne à l ? aide de la formule d ? addition de la tangente ?? ?? ?? ?? ?? Mais alors