BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 2008 −2010 Variables aléatoires co

BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 2008 −2010 Variables aléatoires continues Table des matières I Variable aléatoire continue 2 I.1 Notion de variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Densité et loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II La loi Normale 5 II.1 Définition et cadre naturel d’apparition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.2 Loi normale centrée réduite N(0; 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.3 Utilisation de la table de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.4 Lien avec la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.5 Opérations de variables suivant une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 http://nathalie.daval.free.fr -1- BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 2008 −2010 I Variable aléatoire continue I.1 Notion de variable aléatoire continue Définition 1 Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R. Exemple 1 Exemple de variables aléatoires qui ne sont pas discrètes : Variable T correspondant à la taille d’un élève, Variable L correspondant à longueur d’un train, Variable A correspondant au temps d’attente à une caisse . . . I.2 Fonction de répartition Définition 2 Soit X une variable aléatoire, on appelle fonction de répartition de X la fonction définie sur R par F(x) = P(X ≤x). Propriété 1 La définition nous permet d’écrire : o F(x) = P (X ∈] −∞; x ]). o P(a ≤X ≤b) = P(X ≤b) −P(X ≤a) = F(b) −F(a). o P(X > b) = P(X ≤b) = 1 −F(b). Remarque 1 On admet que pour une variable aléatoire continue, pour tout a ∈R : P(X = a) = 0. On a donc : • P(a < X < b) = P(a < X ≤b) = P(a ≤X < b) = P(a ≤X ≤b), • P(a < X) = P(a ≤X < b), • P(X > b) = P(X ≥b). Propriété 2 La fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue X a les propriétés suivantes : o F est une fonction croissante, définie et continue sur R. o Pour tout x ∈R, 0 ≤F(x) ≤1. o lim x→−∞F(x) = 0 et lim x→+∞F(x) = 1. http://nathalie.daval.free.fr -2- BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 2008 −2010 I.3 Densité et loi de probabilité Définition 3 Dans le cas où F est dérivable, la fonction f dérivée de F est appelée densité de probabilité de X et pour tout x de R, F ′(x) = f(x). Conséquences : • F étant une fonction croissante, f est positive. • P(a ≤X ≤b) = F(b) −F(a) = Z b a f(x) dx. a b • P(X ≤a) = F(a) = lim x→−∞[ F(a) −F(x) ] = lim x→−∞ Z a x f(t)dt = notation Z a −∞ f(t) dt. a • Z +∞ −∞ f(x) dx = 1. Graphiquement, l’aire entre la courbe de f, qui est une fonction positive, et l’axe des abscisses vaut 1. Exemple 2 Voici quelques exemples de densités de probabilités ainsi que leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal : f1(x) =          0 si x < 0 1 si 0 ≤x ≤1 0 si x > 1 0 1 −1 1 f2(x) =                0 si x ≤−1 x + 1 si −1 < x ≤0 −x + 1 si 0 < x ≤1 0 si x > 1 0 1 −1 −2 1 f3(x) =    0 si x < 0 2e−2x si x ≥0 0 1 2 −1 1 2 b http://nathalie.daval.free.fr -3- BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 2008 −2010 I.4 Espérance et variance Définition 4 Soit X une variable aléatoire continue et f sa densité. ® On appelle espérance de X le réel, noté E(X), défini par la relation E(X) = Z +∞ −∞ xf(x) dx. ® On appelle variance de X le réel, noté V (X), qui, s’il existe, est défini par la relation V (X) = Z +∞ −∞ [ x −E(X) ]2 f(x) dx. ® On appelle écart-type de X le réel, noté σX, défini par la relation σX = q V (X). Exemple 3 On peut s’amuser à calculer l’espérance, la variance et l’écart-type pour la fonction f2 définie dans l’exemple 2 : E(X) = Z +∞ −∞ xf2(x) dx = Z −1 −∞ x × 0 dx + Z 0 −1 x(x + 1) dx + Z 1 0 x(−x + 1) dx + Z +∞ 1 x × 0 dx = Z 0 −1 (x2 + x) dx + Z 1 0 (−x2 + x) dx = x3 3 + x2 2 0 −1 +  −x3 3 + x2 2 1 0 = 0 −  −1 3 + 1 2  +  −1 3 + 1 2  −0 = 0. V (X) = Z +∞ −∞ [ x −E(X) ]2 f(x) dx = Z 0 −1 x2(x + 1) dx + Z 1 0 x2(−x + 1) dx = Z 0 −1 (x3 + x2)dx + Z 1 0 (−x3 + x2)dx = x4 4 + x3 3 0 −1 +  −x4 4 + x3 3 1 0 = 0 − 1 4 −1 3  +  −1 4 + 1 3  −0 = 1 6. σX = p V (X) = 1 √ 6. Propriété 3 Soit X une variable aléatoire continue admettant une espérance et une variance, alors pour tous a; b ∈R : o E(aX + b) = aE(X) + b. o V (aX + b) = a2V (X). o σ(aX + b) = |a| σ(X). o E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). o E(X −Y ) = E(X) −E(Y ). Si de plus X et Y sont indépendantes, o V (X + Y ) = V (X) + V (Y ). o V (X −Y ) = V (X) + V (Y ). http://nathalie.daval.free.fr -4- BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues 2008 −2010 II La loi Normale II.1 Définition et cadre naturel d’apparition Cette loi est celle qui rend compte de diverses mesures d’une grandeur donnée, opérées à diverses reprises, chaque mesure étant sujette à des erreurs. La loi normale (ou de Laplace-Gauss, appelée « normale » par Pearson en 1893) est la loi de certains phénomènes continus qui fluctuent autour d’une valeur moyenne µ, de manière aléatoire, résultante d’un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s’ajoutent sans que l’un d’eux soient dominant : par exemple la taille d’un individu en cm, influencée par le sexe, la nourriture, l’environnement, l’hérédité, le lieu géographique . . . Définition 5 On appelle loi Normale de paramètres m ∈R et σ > 0 la loi d’une variable aléatoire continue X prenant toutes les valeurs réelles, de densité de probabilité la fonction définie pour tout x ∈R par f(x) = 1 σ √ 2πe−1 2( x−m σ ) 2 On note X ⇝N(m; σ). Exemple 4 Voici des exemples de courbes pour quelques valeurs de m et σ : 1 2 3 −1 −2 −3 1 2 1 2 3 −1 −2 −3 1 2 m = −1 et σ = 0, 2 m = 0 et σ = 0, 5 1 2 3 −1 −2 −3 uploads/Litterature/ variable-aleatoire-continue.pdf

Tags
littérature variable normale aléatoire variables fonction
Documents similaires
  • 19
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager