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Cours fonctions de deux variables

c Christophe Bertault - MPSI Fonctions de deux variables Dans tout ce chapitre R et R sont munis de leur structure euclidienne F BE canonique On utilisera librement les notations usuelles O et k Nous allons dans ce chapitre étudier succinctement les fonctions de R dans R Nous chercherons à étendre à ces fonctions les notions de limite continuité dérivabilité etc Jusqu ? ici nous avons réservé ces notions aux fonctions de R dans R que nous savions bien représenter comme des courbes ? pour le dire vite Les fonctions de R dans R seront quant à elles représentées par des surfaces ? comme l ? illustrent les ?gures ci-dessous z z sin x sin y z sin x z indépendance en y y x x z x y z y z z x ?? y y x y x Rudiments de topologie dans R Ce paragraphe est une introduction ?? très brève ?? à une branche fondamentale des mathématiques appelée topologie La topologie est pour le ? dire vite la théorie gr? ce à laquelle il est possible de dé ?nir une notion de proximité entre deux points via la notion de voisinage d ? un point On ne peut pas faire moins si on veut pouvoir introduire les notions de limite continuité Ouverts de R Dé ?nition Boule ouverte boule fermée Soit A ?? R ? Pour tout r on appelle boule ouverte de centre A et de rayon r l ? ensemble BO A r M ?? R d A M r ? Pour tout r on appelle boule fermée de centre A et de rayon r l ? ensemble BF A r M ?? R d A M r r A BO A r Le bord du disque est exclu BF A r Le bord du disque est inclus r A Cc Christophe Bertault - MPSI Explication Ce sont surtout les boules ouvertes qui vont nous intéresser mais ce n ? est pas du tout leur rondeur ? qui va nous être utile ce qui compte c ? est que la boule BO A r contient tous les points assez proches de A Cette idée sera formalisée plus loin quand nous dé ?nirons la notion de voisinage Exemple Pour tout A ?? R la boule fermée BF A co? ncide avec le singleton A Dé ?nition Ouvert Soit une partie de R On dit que est un ouvert ou une partie ouverte si ??A ?? ?? r BO A r ? cela revient à dire qu ? il existe autour de tout point A de une boule ouverte de centre A incluse dans Explication Un ouvert de R est une partie de R dans laquelle tous les points ont de la place autour d ? eux On peut faire un tour complet autour de chaque point sans sortir de l ? ouvert On peut se représenter les ouverts en pensant que ce sont des taches qui ne contiennent pas leur frontière Théorème Exemples fondamentaux d ?