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Transforme de laplace Chapitre - Transformée de Laplace Chapitre ?? Transformée de Laplace Dé ?nition et propriétés de base La transformée de Laplace est un outil mathématique qui permet de transformer une équation di ?érentielle en une équation algébriqu

Chapitre - Transformée de Laplace Chapitre ?? Transformée de Laplace Dé ?nition et propriétés de base La transformée de Laplace est un outil mathématique qui permet de transformer une équation di ?érentielle en une équation algébrique plus simple à manipuler Dé ?nition Soit f une fonction du temps t Si f est continue par morceaux pour t ? et que lim e ??t f t t ? est ?nie alors f t admet une transformée de Laplace F p dé ?nie par F p ? ?? ? f t e ?? ptdt P ? C et Re p On note F p L f t ou encore f t L- F p Propriétés de base La transformée de Laplace satisfait un certain nombre de propriétés qui se résument comme suit Linéarité Soient f et g deux fonctions du temps La linéarité de l ? intégration permet d ? établir l ? égalité suivante L ? f t ? ?? g t ? ? L f t ? ?? L g t Di ?érentiation ou dérivation Si L f t F p alors F p ? ?? ? f t e ?? ptdt En intégrant par partie F p on obtient L f t ? ??p e ?? pt ? f t ? p ?? ? f ' t e ?? ptdt L f t ? p f ? p L f ' t soit L f ' t ? pLf t ?? f ? ou encore L f ' t ? pF p ?? f ? De même on a Lf n t ? pnF p ?? pn ?? f ?? pn ?? f ' ?? ?? f n ?? Si les conditions initiales sont telles que f f ? ? f n- alors L f n t Pn L f t Ma? trise d ? Electronique DJEMAL Ridha CChapitre - Transformée de Laplace Remarque On constate que dériver par rapport à t dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine fréquentiel domaine o? on utilise la transformer de Laplace Intégration Soit F p L f t et g t ? ?? t f u du c'est-à-dire g ? t f t on a F p L g ? t pL g t ?? g D ? o? L ?? t f u du ? F p p Théorème du retard Translation temporelle Soient F p L f t et g t ? f t ?? ?? tel que g t pour t ?? et f t pour t ?? L g t ? ?? ?? ? f t ?? ?? e ?? ptdt puisque de à ?? f t- ?? En posant t- ?? x il vient L g t ? ?? ? f x e ?? p x ? ?? dx L g t ? e ?? p ?? ?? ? f x e ?? pxdx D ? o? Lf t ?? ?? ? e ??p ?? F p Théorème de la valeur initiale