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Denombrement 2021 CHAPITRE PROBABILITÉ-DÉNOMBREMENT Introduction à l ? analyse combinatoire Dé ?nition Dans toute la suite E désigne un ensemble ?ni non vide possédant n éléments Dénombrer une partie A de E A ? E consiste à trouver son cardinal i e le nom

CHAPITRE PROBABILITÉ-DÉNOMBREMENT Introduction à l ? analyse combinatoire Dé ?nition Dans toute la suite E désigne un ensemble ?ni non vide possédant n éléments Dénombrer une partie A de E A ? E consiste à trouver son cardinal i e le nombre de ses éléments noté Card A Le problème se pose en général lorsque A est donné en compréhension c ? est-à-dire par une description des éléments de E qui font partie de A Par exemple les mains de belote comportant un couple Valet- ou les numéros de téléphone comportant chi ?res identiques Ce dénombrement est particulièrement utile en probabilités en situation d ? équiprobabilité puisque la probabilité d ? un événement A est alors égale au cardinal de A divisé par le cardinal de l ? univers Propriétés du cardinal Soient A et B deux sous-ensembles de l ? ensemble E Card A ?? B CardA CardB ?? Card A ?? B si A ?? B ? Card A ?? B CardA CardB si A ?? B ? Exemple Dans une classe de terminale tous les élèves étudient au moins l ? anglais ou l ? allemand Parmi eux élèves étudient l ? anglais élèves étudient l ? allemand et élèves étudient l ? anglais et l ? allemand Quel est l ? e ?ectif de la classe Dé ?nition Soit n un entier naturel non nul Le nombre ? factorielle n ? est l ? entier noté n et est égal au produit des n premiers entiers non nul n n n ?? n ?? n ?? ? ? ? Outils de dénombrement Les P-listes Dé ?nition Une p-liste d ? éléments de E est une liste ordonnée de p éléments E L ? ensemble des p-listes est noté Ep Remarque Dans une p-liste un élément peut appara? tre plusieurs fois il peut aussi ne pas appara? tre du tout C OUTILS DE DÉNOMBREMENTC HAPITRE PROBABILITÉ- DÉNOMBREMENT Théorème Soit E un ensemble à n éléments et p un entier naturel non nul Le nombre de p-liste de E est le nombre réel np Exemple Un cadenas à numéros a trois roues chacune porte les numéros à Combien de nombres secrets y a-t-il Il y ? a trois roues un chi ?re peut se répéter dont on a un tirage successif avec remise donc un cas de p-listes N Arrangements sans remise Dé ?nition Soit p un entier naturel p ? E un ensemble ?ni non vide On appelle arrangement sans répétition une disposition ordonnée de p éléments distincts choisis parmi les n éléments de E Théorème Soit E un ensemble de n éléments p un entier naturel tel que ? p ? n Le nombre d ? arrangement à p éléments est le nombre réel noté Anp Apn n n ?? n ?? ? ? n ?? p Exemple Une urne contient boules numérotés de à On en tire boules une à une sans remise Combien y ? a t-il de tirages possibles de boules Le tirage