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Dev 1 automne 11 Nom Signature Nom Signature Pr ?enom Matricule Pr ?enom Matricule Questionnaire Devoir MTH Automne Groupe Groupe R ?eserv ?e Clart ?e Total CMTH ?? Calcul Devoir - Automne DIRECTIVES ? Vous devez remettre un rapport par ?equipe de deux ?e

Nom Signature Nom Signature Pr ?enom Matricule Pr ?enom Matricule Questionnaire Devoir MTH Automne Groupe Groupe R ?eserv ?e Clart ?e Total CMTH ?? Calcul Devoir - Automne DIRECTIVES ? Vous devez remettre un rapport par ?equipe de deux ?etudiant e s au maximum au plus tard lundi octobre a h am dans le casier de votre groupe pour le cours MTH pres du local A- Dans le cas d ? une ?equipe compos ?ee d ? ?etudiant e s provenant de deux groupes d ?eposez le rapport dans le casier d ? un des groupes et indiquez clairement le groupe de chaque ?etudiant e Chaque membre d ? une ?equipe recevra la m eme note ? Utilisez obligatoirement la page de pr ?esentation ci- jointe pour la remise de votre rapport et inscrivez tous les renseignements demand ?es ? Lors de la correction il sera tenu compte de la qualit ?e et de l ? initiative manifest ?ees dans le travail et de sa pr ?esentation point ? Il faut obligatoirement remettre une version papier du devoir Une version ?electronique ne sera pas accept ?ee Exercice points Consid ?erons la suite d ?e ?nie par a an ?? an ??n ? a En utilisant le principe de r ?ecurrence induction math ?ematique d ?emontrez que cette suite est strictement d ?ecroissance born ?ee inf ?erieurement par et sup ?erieurement par pour tout n ? b Sans calculer la limite de la suite dire si la suite converge Si oui ?evaluez cette limite Exercice points a Trouvez valeurs distinctes positives de u telles que ? ?? n ??u n ?? n n b Existe-t-il des valeurs de v r ?eelles telles que ? n ??v n ?? n n Cc Estimez la valeur de e ??x x ?? x dx avec une certitude que l ? erreur commise est inf ?erieure ou ?egale a ?? Exercice points D ?eterminez si les s ?eries suivantes sont convergentes ou divergentes ? cos n ? Arctan n a ?? b nn n c n n ? nn ln n n Exercice points Consid ?erons la fonction f x x pour x a Donnez la s ?erie de Taylor de f autour de a b Donnez le rayon et l ? intervalle de convergence de la s ?erie obtenue en a c La s ?erie obtenue en a vous permet-elle d ? estimer f f ? Justi ?ez d Soit Pn x le polyno me de Taylor de degr ?e n de f autour de a Utilisez l ? analyse de Taylor pour d ?eterminer une borne sup ?erieure sur l ? erreur d ? approximation de f par Pn x dans un intervalle quelconque e Proposez un intervalle qui vous permet de conclure que la s ?erie obtenue en a est ?egale a f D ?emontrez que votre r ?eponse est valable Exercice points a Soient z et z deux nombres complexes tels que z z z et z ?? z Donnez toutes