Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Developpement analyse 415 Université de Rennes Préparation à l ? agrégation de mathématiques Auteur du document R Carles Th ?eor eme de la phase stationnaire http www maths univ-rennes fr ??carles ENS Pour arriver a pr ?esenter ce r ?esultat en d ?evelopp

Université de Rennes Préparation à l ? agrégation de mathématiques Auteur du document R Carles Th ?eor eme de la phase stationnaire http www maths univ-rennes fr ??carles ENS Pour arriver a pr ?esenter ce r ?esultat en d ?eveloppement on peut doit se restreindre au cas d ? une seule variable On peut aussi se contenter de calculer un ?equivalent de l ? int ?egrale et seulement mentionner l ? existence d ? un d ?eveloppement asymptotiquea tout ordre Th ?eoreme Soient u ?? C ? R C ?? C ? R R On suppose que possede un unique point critique sur supp u et que ce point critique est non d ?eg ?en ?er ?e ?? xc ?? supp u xc et xc ? On note I ? ei ? x u x dx Alors si u xc ?? ? I ? ?? ? ? ? ? ? ei ? sgn xc xc u xc ei ? xc De plus il existe des op ?erateurs di ? ?erentiels A d ? ordre au plus tels que pour tout N ? I ? ?? N ?? ei ? xc ? A d dx u xc ? CN ? N ou CN d ?epend de u et de Remarques Par partition de l ? unit ?e cette formule se g ?en ?eralise au cas ou a plusieurs forc ?ement un nombre ?ni points critiques non d ?eg ?en ?er ?es sur supp u les contributions de chaque point critique se superposent Ce r ?esultat se g ?en ?eralise au cas de la dimension quelconque La d ?eriv ?ee seconde de la phase est remplac ?ee par sa hessienne le signe par la signature de la hessienne et la premi ere racine dans devient une puissance n Dans le th ?eoreme on peut aussi supposer que u est un ?el ?ement de l ? espace de Schwartz S R et que possede un unique point critique non d ?eg ?en ?er ?e CD ?emonstration pour simpli ?er les ?ecritures on suppose que xc La preuve du th ?eor eme s ? organise alors comme suit On factorise la phase pr es de pour la rendre quadratique sur un voisinage de l ? origine On montre que les contributions en dehors de ce voisinage sont n ?egligeables dans l ? int ?egrale I ? Par changement de variable on se ramenea une phase quadratique On donne un sens a ei x dx et on en donne la valeur La preuve se termine par application de la formule de Parseval D ? apr es la formule de Taylor avec reste int ?egrale x ?? x ?? t tx dt Par hypoth ese donc il existe un voisinage U de l ? origine tel que ne s ? annule pas sur U On d ?e ?nit ? x x ?? t tx dt La fonction ? est de classe C ? sur U Pour x ?? V voisinage de on a ? ?? x