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Developpement analyse 422 1

Autour du théorème de Tauber Norbert Verdier N Verdier Professeur Agrégé de Mathématiques à l'Institut Universitaire de Technologie de Cachan Université ParisSud Auteur de plusieurs ouvrages consacrés soit à l'enseignement tomes Chez ESKA Faire des maths avec Mathematica chez Ellipses en soit à la vulgarisation et à l'histoire des sciences L'in ?ni en mathématiques Ed Flammarion A quoi servent les mathématiques Ed Milan Le Dico des Sciences Ed Milan Qu'est-ce que les mathématiques Ed Le Pommier Le Discret et le continu Ed Le Pommier Il est membre du comité de rédaction de la revue Tangente consacrée aux mathématiques Dernier ouvrage paru Evariste Galois le mathématicien maudit in Les Génies de la Science Pour la science Février Cet article a été publié sous une forme légèrement modi ?ée dans Sciences Info prépas n avril pp - Soit une série entière de rayon de convergence ?ni Que se passe-t-il au voisinage d'un point du cercle de convergence L'article examine cette question et montre des applications d'un certain nombres d'exercices types lemme de Bernoulli Cesaro calculs de séries si souvent posés aux oraux des concours Première réponse le théorème d'Abel ? ? Soit f la série f z a n zn et R ron rayon de convergence ?ni Si la variable z tend vers un point z en n restant dans le disque de convergence Il n'est pas toujours vrai que f z tend vers f z En revanche c'est le cas si l'on rajoute la condition qu'il conviendra de schématiser z reste dans le secteur angulaire dé ?nie par z tend vers z en restant dans un angle ayant pour bissectrice le rayon Oz et de mesure a avec a strictement compris entre et p La démonstration est classique et ?gure par exemple dans Combes pp - Nous insisterons simplement sur le fait que la condition supplémentaire imposée implique que z ne doit pas tendre vers un point du cercle en empruntant la tangente au cercle à ce point En e ?et dans ce cas on peut avoir f z qui ne tend pas vers f z ? Par exemple Hardy et Littlewood voir bibliographie ont étudié la série f z ? n ??beina zn o? n a et b et ont montré qu'elle converge en si b -a et si b -a Pourtant si z tend vers tangentement au cercle f z ne tend pas vers f Examinons la réciproque du théorème d'Abel en convenant dans tout ce qui suit que R et que z ce qui n'est pas une perte de généralité via un changement de variable Si f z a une limite ?nie quand z tend ? ? vers cette limite vaut-elle a n NON n Il su ?t de prendre une série géométrique c'est quand même beaucoup plus simple que l'exemple précédent ? ? En e ?et f z ??z n a pour rayon et vaut f z z si z Ainsi f z tend vers quand z n tend vers pourtant la série est divergente en puisque